[01 - 02 - 03 -04 -05 - 06 - 07 - 08 - 09 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15]
Benoît Mandelbrot - Concepto de estructura fractal - Autosemejanza - Dimensión topológica - Dimensión de recubrimiento - Galería de fractales clásicos: el conjunto de Cantor, la escalera del diablo, las curvas de Weierstrass, Mandelbrot-Weierstrass y Takagi, un ejemplo diferente, las curvas de Peano y de Hilbert, los dragones de Heighway y Lévy, la procesión de cangrejos, conjuntos autoafines, las curvas de Koch, Sierpinski, Kiesswetter y Given-Mandelbrot - Movimiento browniano - Fechas significativas - Algunas aplicaciones: la física de la música y el canto de los pájaros, sistemas críticamente autoorganizados, dithering de imágenes con la curva de Hilbert
Cualquiera que sea el método de aproximación al concepto de fractal que utilicemos, hay un concepto central, que es el de dimensión. Más precisamente, consideraremos varios conceptos de dimensión; y el primero de ellos, el de dimensión topológica.
En los “Elementos” de Euclides, ya se define, implícitamente y de forma inductiva, el concepto de dimensión. Se dice que una figura es unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su frontera está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta de superficies.
Hermann Weyl ilustra el concepto de dimensión en los términos siguientes:
“Decimos que el espacio es tridimensional porque los muros de una prisión son bidimensionales.”
Gerald A. Edgar (“Measure, Topology and Fractal Geometry”, Springer, 1990) completa la imagen de Weyl en los términos que siguen:
"Si tenemos un punto en el espacio tridimensional, podemos usar un pequeño cubo como prisión. El cubo está constituido por 6 caras planas. Necesitamos saber que estas caras son bidimensionales. Un punto que vive en una de estas caras puede ser sometido a prisión haciendo uso de una pequeña circunferencia. Así, decir que las caras del cubo son bidimensionales, requiere saber que una circunferencia es unidimensional. Un punto que vive en una de las circunferencias, puede ser aprisionado haciendo uso de dos puntos como muros de la prisión. Necesitamos saber que un conjunto reducido a dos puntos es de dimensión cero. Finalmente, un punto que vive en el conjunto de dos puntos es ya incapaz de moverse. No necesitamos muros para aprisionarlo. Estamos, por definición, ante un conjunto de dimensión 0."
La construcción de la dimensión topológica se puede basar en la idea de generalizar el concepto de que la dimensión de una bola es tres mientras que la dimensión de la esfera que la limita es dos: dimensión de un conjunto X a partir de la dimensión de su frontera dX.
Por otra parte, un objeto fractal es, ante todo, un subconjunto de Rn. En este contexto, preferimos una definición equivalente de dimensión topológica basada en la dimensión de recubrimiento, concepto que juega un papel importante en la definición de dimensión fractal.
Consideremos un subconjunto S de Rn.
Un recubrimiento abierto de S es cualquier colección de conjuntos abiertos a cuya reunión contiene al conjunto S.
Dimensión topológica 1
Un refinamiento abierto a’ del recubrimiento abierto a es otro recubrimiento tal que cada abierto A’Îa’está incluido en algún abierto AÎa.
En algún sentido, un refinamiento abierto a’ de S, proporciona un recubrimiento “más detallado” de S que a.
Dimensión topológica 0
Decimos que a es un recubrimiento abierto de orden k del conjunto S, si, cualquiera que sea xÎS, x pertenece a un máximo de k abiertos del recubrimiento a.
Definición: El conjunto S tiene dimensión de recubrimiento (dimensión topológica) n, si cualquier recubrimiento abierto a de S admite un refinamiento abierto de orden n+1, pero no de orden n.
Dimensión topológica 1
