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Benoît Mandelbrot - Concepto de estructura fractal - Autosemejanza - Dimensión topológica - Dimensión de recubrimiento - Galería de fractales clásicos: el conjunto de Cantor, la escalera del diablo, las curvas de Weierstrass, Mandelbrot-Weierstrass y Takagi, un ejemplo diferente, las curvas de Peano y de Hilbert, los dragones de Heighway y Lévy, la procesión de cangrejos, conjuntos autoafines, las curvas de Koch, Sierpinski, Kiesswetter y Given-Mandelbrot - Movimiento browniano - Fechas significativas - Algunas aplicaciones: la física de la música y el canto de los pájaros, sistemas críticamente autoorganizados, dithering de imágenes con la curva de Hilbert
Posiblemente es el fractal clásico más importante y más conocido, y muchos otros objetos fractales tienen alguna relación con él. Fue descrito en 1883 por Georg Cantor (1845-1918), pero fue mencionado en 1875 (posiblemente antes) por el matemático irlandés Henry Smith.
El conjunto triádico de Cantor es un subconjunto de puntos del intervalo [0,1] para el que definimos seguidamente un algoritmo recursivo de construcción. Este procedimeinto de caracterización, facilita, por otra parte, le demostración de muchas de sus propiedades por inducción.
Partimos del intervalo [0,1], que denominamos C0. Obtenemos C1 removiendo el tercio central de C0, de forma que resulta
Sucesivamente, se continúa el proceso de remoción, suprimiendo el tercio central de cada nuevo subintervalo generado.
De manera inductiva, definimos el elemento Ck de la sucesión como la reunión de un total de 2k subintervalos cerrados, cada uno de ellos de longitud 3-k.
La sucesión de conjuntos compactos {Ck} es monótona decreciente:
es el conjunto triádico de Cantor o, en palabras de Mandelbrot es un “Cantor dust”, nombre que intenta transmitir la clase de conjunto que es.
TACIÓN GRÁFICA
¿Por qué la reproducción en la pantalla de la iteración 6 exhibe una baja calidad? Porque no es posible la representación exacta sobre el dispositivo, la pantalla, en el sentido de que, a partir de un tamaño de subconjunto, no es posible usar un conjunto equilibrado de pixels. El conjunto de Cantor no se puede representar con un número finito de pixels.
Podemos representar los números reales de C0=[0,1] en base 3, mediante una expresión de la forma
siendo xi=0, 1 o 2. Los elementos del conjunto de Cantor están descritos para valores xi=0 o xi=2.
En efecto, cuando eliminamos el tercio central para pasar de C0 a C1, suprimimos los números x para los que x1=1. Cuando suprimimos los tercios centrales para pasar de C1 a C2 ,eliminamos los números reales x para los que xi=1, y así sucesivamente.
Este conjunto tiene una serie de propiedades notables que vamos a analizar seguidamente:
(1).- El “polvo” de Cantor así definido no es el conjunto vacío.
Estos puntos,
se denominan puntos de primer género del conjunto de Cantor C. Los puntos restantes, que veremos que también existen, se denominan de segundo género.
En efecto, contiene al menos los extremos de todos los subintervalos Ck. Además, es fácil mostrar que el punto ¼ es un elemento del conjunto de Cantor, por ejemplo escribiéndolo en base 3, y, por otra parte, no es extremo de ninguno de los subintervalos Ck.
(2).- La medida de Lebesgue del conjunto de Cantor es cero.
En efecto, la suma de las longitudes de los intervalos suprimidos es 1:
(3).- El conjunto C tiene el cardinal del continuo. Es decir, tiene el mismo cardinal que el intervalo original C0=[0,1].
Esta propiedad se muestra fácilmente estableciendo una correspondencia entre los puntos que se pueden representar en base 3 en la forma 0.x1x2x3..., con xi=0 o xi =2 y los que se escriben en binario en la forma 0.y1y2y3...
Puesto que los puntos de primer género constituyen un conjunto numerable, queda claro que el conjunto de los puntos de segundo género no se reduce al punto ¼.
(4).- El conjunto C tiene dimensión topológica 0.
(5).- El conjunto C no contiene intervalos de longitud positiva ni puntos aislados.
(6).- El conjunto C es un conjunto cerrado y cada uno de sus puntos es un punto de acumulación. Es, decir, es un conjunto perfecto.
(7).- El conjunto C es un conjunto compacto, es decir, cerrado y acotado.
(8).- El conjunto C es totalmente inconexo.
Así, C es un conjunto compacto, perfecto e inconexo. Además, C está caracterizado por éstas tres propiedades: cualquier subconjunto de R compacto, perfecto e inconexo se puede aplicar sobre C por medio de una transformación contínua reversible.
(9).- Finalmente, el conjunto C tiene una propiedad notable, pero nada evidente. Dado cualquier número real x del intervalo [0,1] , existen dos elementos de C, y,z, tales que x=y-z.
En otras palabras, las sumas y+z de dos elementos y y z del conjunto C, llenan el intervalo [0,2].
Analizando el conjunto de estas propiedades observamos el hecho sorprendente de que C, a pesar de tener medida de Lebesgue y dimensión topológica nulas (igual que un conjunto finito o numerable de puntos), tiene el cardinal del continuo (lo mismo que I0=[0,1] o R).
Esta situación, un tanto paradójica, se puede resolver (y, de hecho, se resuelve) argumentando que el conjunto de Cantor está incluido en una nueva categoría de conjuntos, los conjuntos fractales, asociándole en consecuencia un concepto nuevo de dimensión (que no es un número entero), la dimensión fractal.
Existen razones adicionales para clasificar el conjunto de Cantor como objeto fractal. Si consideramos el concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer, observamos que el conjunto de Cantor satisface cada una de las “propiedades” citadas. En particular, la “propiedad”
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
se detecta en el conjunto C en los términos siguientes.
El conjunto C puede obtenerse como reunión de dos conjuntos: el primero se deduce de C mediante una contracción de razón 1/3. El segundo se deduce mediante la misma transformación seguida de una traslación de vector 2/3.
El conjunto C se puede obtener, además, como el atractor de un sistema de funciones
cuando se aplican en forma iterada, comenzando, por ejemplo, con C0=[0,1]. ¿Es el conjunto así definido el mismo que hemos definido en forma recursiva anteriormente? En efecto, es fácil probar por inducción completa la siguiente propiedad del conjunto de Cantor C:
SEMEJANZA
En este sentido, C es una estructura (un conjunto) autosemejante.
Podemos generalizar el ‘curdling’ transformando la ‘barra’ inicial en dos nuevas: izquierda con escala l0 y derecha con l1, al tiempo que repartimos la masa unidad con las proporciones p0 al segmento izquierdo y p1 al derecho, respectivamente. Suponemos, así,
La construcción original de Cantor se puede generalizar a dimensión 2 (o superior) mediante diversos mecanismos. Por ejemplo, se puede construir el producto cartesiano de dos conjuntos triádicos de Cantor, dando como resultado conjunto CxC con medida de Lebesgue cero y con la poetencia del contínuo, igual que C.
Partimos, nuevamente, de C0=[0,1] y seleccionamos dos cantidades al azar r1 y r2, de forma que r1+r2<1. Deducimos así el conjunto reunión de dos intervalos, a cada uno de los cuales se aplica una construcción semejante a la anterior.
La aplicación R®R definida por
se suele denominar tienda de campaña (tent map), debido a la forma de su gráfica. Estudiaremos algunos aspectos del sistema dinámico con inicio en x0 y tal que xn+1=f(xn).
En primer lugar se observa que si x0<0 o x0>1, la sucesión diverge hacia -¥. Y lo mismo sucede si cualquier xn<0 o xn>1. Consideremos, pues, x0Î[0,1]. Nos planteamos la cuestiones siguientes: ¿Existen puntos en [0,1] para los que la sucesión no diverge? Si la respuesta es afirmativa ¿hay pocos o muchos puntos que se pueden considerar ‘prisioneros’?
Es fácil ver, mediante una ilustración gráfica, que la construcción del conjunto de prisioneros P es la misma que la correspondiente al conjunto triádico de Cantor. Así, P=C.
Esta conjetura responde también a la segunda pregunta. Los puntos de C (y de P) son escasos en [0,1]. De hecho, si seleccionamos un punto al azar en [0,1], la probabilidad de que sea un prisionero es nula.
prisioneros1.m (1era generación)
prisioneros2.m (2nda generación)
