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Benoît Mandelbrot - Concepto de estructura fractal - Autosemejanza - Dimensión topológica - Dimensión de recubrimiento - Galería de fractales clásicos: el conjunto de Cantor, la escalera del diablo, las curvas de Weierstrass, Mandelbrot-Weierstrass y Takagi, un ejemplo diferente, las curvas de Peano y de Hilbert, los dragones de Heighway y Lévy, la procesión de cangrejos, conjuntos autoafines, las curvas de Koch, Sierpinski, Kiesswetter y Given-Mandelbrot - Movimiento browniano - Fechas significativas - Algunas aplicaciones: la física de la música y el canto de los pájaros, sistemas críticamente autoorganizados, dithering de imágenes con la curva de Hilbert
En el escrito de Cantor titulado “On the Power of Perfect Sets of Points”, extraído por los editores de Acta Mathematica partiendo de una carta dirigida a los mismos en 1884, se describe el ya considerado Conjunto de Cantor y una función (de Cantor) conocida como escalera del diablo. Se trata de la gráfica de una función (singular) continua en [0,1], no constante, y con derivada nula en todos los puntos, excepto en un subconjunto de [0,1] con medida de Lebesgue nula. Este subconjunto es, precisamente, un conjunto de Cantor.
Repetimos la construcción del conjunto de Cantor suponiendo que repartimos una unidad de masa sobre el intervalo [0,1] y que, en cada operación de eliminación, se elimina también la masa correspondiente. La escalera del diablo se obtiene como la representación de la masa M(x), para cada abscisa x, situada a la izquierda de la misma.
TRUCCIÓN DE LA ESCALERA DEL DIABLO
(1).- En un cuadrado [0,1]x [0,1], trazamos el segmento O(0,0)-U(1,1).
(2).- Sobre el tercio central de [0,1] (abscisas), elevamos un segmento y=1/2, de extremos A(1/3,1/2) y B(2/3,1/2), respectivamente. Seguidamente, trazamos la línea quebrada (0,0)- (1/3,1/2)-(2/3,1/2)-(1,1), finalizando así la segunda etapa.
(3).- En la tercera etapa, se realiza una operación análoga con los segmentos OA’ y B’U’. Se construye sobre el tercio medio de cada uno de ellos un segmento, y=1/4 para OA’ e y=3/4 para B’U’.
(4).- El algoritmo prosigue indefinidamente.
TACIÓN GRÁFICA
La escalera del diablo no es, simplemente, una construcción matemática con propiedades más o menos notables. La descripción de muchos sistemas físicos origina la construcción de varias versiones de la curva mencionada.
El comportamiento dinámico de las ecuaciones (no lineales) de un oscilador forzado o de un sistema de Van der Pol, por ejemplo, se puede, bajo determinadas condiciones, simplificar mediante la denominada aplicación del círculo (en si mismo):
Esta aplicación presenta dos parámetros, K, que corresponde a la intensidad de la oscilación perturbadora, y, simultáneamente, al grado de no linealidad del sistema, y W, que es la frecuencia del sistema en ausencia de acoplamiento (K=0).
Se denomina número de rotación a la función
La gráfica de r frente a W tiene un curioso comportamiento: r es una función contínua de W y presenta un conjunto numerable de mesetas para valores racionales de r: son mesetas de acolpamiento o de resonancia.
Los intervalos (abiertos) de W para los que aparece el fenómeno de acoplamiento, llenan el intervalo [0,1], quedando como puntos residuales de W, que no corresponden a resonancia, un conjunto de Cantor. La gráfica de r frente a W es una escalera del diablo.
