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Benoît Mandelbrot - Concepto de estructura fractal - Autosemejanza - Dimensión topológica - Dimensión de recubrimiento - Galería de fractales clásicos: el conjunto de Cantor, la escalera del diablo, las curvas de Weierstrass, Mandelbrot-Weierstrass y Takagi, un ejemplo diferente, las curvas de Peano y de Hilbert, los dragones de Heighway y Lévy, la procesión de cangrejos, conjuntos autoafines, las curvas de Koch, Sierpinski, Kiesswetter y Given-Mandelbrot - Movimiento browniano - Fechas significativas - Algunas aplicaciones: la física de la música y el canto de los pájaros, sistemas críticamente autoorganizados, dithering de imágenes con la curva de Hilbert
El 18 de Julio de 1872, Karl Weierstrass (1825-1897) leyó un escrito titulado “On Continuous Functions of a Real Argument that do not have a Well-defined Differential Quotient”, en la Royal Prussian Academy of Science. El artículo fue publicado tres años mas tarde por P. du Bois-Reymond.
El párrafo de introducción dice así:
Hasta tiempos muy recientes, se suponía de forma universal que una función continua uniforme de una variable real siempre tenía una derivada primera, cuyo valor podría no estar definido o ser infinitamente grande sólo en puntos aislados.
Seguidamente, Weierstrass construye el primer ejemplo de curva continua y no diferenciable en ningún punto, siempre que el producto ab sea superior a cierto límite:
Weierstrass probó que la función descrita carece de derivada finita o infinita en cada uno de sus puntos si 0<a<1, b es un entero impar y ab>1+3p/2.
En 1914, Hardy demostró que, si ab³1, W(x) carece de derivadas en todos sus puntos. Si ab<1, W(x) es continuamente diferenciable.
La gráfica de la curva de Weierstrass no es autoafín. Mandelbrot diseñó una ligera modificación de ella que le confiere alguna clase de autoafinidad
Esta función puede expresarse como suma de una de Weierstrass y una función continua y diferenciable. Además, WM(x)=aWM(bx)).
Esta curva fue descubierta en 1903 por Takagi (1875-1960), y se deduce de la de Weierstrass la función trigonométrica que aparece en la suma por la función y(x)=dist(x,Z) que mide la distancia entre el argumento x y el número entero más próximo a x.
La gráfica de la función y(x)=dist(x,Z) tiene la forma siguiente:
En primer lugar, consideremos el algoritmo de Arquímedes para la construcción punto a punto de la parábola.
Sea y=P(x)=a-bx2, con b>0. Dados los extremos de la cuerda {xA,a-bxA2}, {xB,a-bxB2}, Arquímedes interpola el valor P(x) que corresponde al punto medio x=(xA+xB)/2.
Seguidamente, se interpolan otros dos puntos, partiendo del punto medio de las cuerdas AC y CB, respectivamente, y elevando cada ordenada en la cantidad d/(42)= d/16. La etapa k requiere el desplazamiento de los puntos medios de 2k-1 cuerdas en la cuantía 4-kd.
Para la curva fractal de Takagi, se copia el algoritmo precedente, cambiando el incremento de las ordenadas por 2-kd en la etapa k. La curva que se deduce punto a punto es muy diferente de una parábola.
Sobre el conjunto [0,1] definimos las aplicaciones contractivas
siendo a>1/3, b>1/3, a+b>4/3. Iterando en la forma acostumbrada, se obtiene una función continua no diferenciable en todos sus puntos.
