En 1890 Giuseppe Peano (1858-1932) publicó un artículo titulado “Sur une courbe qui remplit toute une aire plane”. Esta curva, como la de Hilbert, tiene la propiedad notable de “llenar” el plano, en el sentido de que pasa por cualquier punto, por ejemplo, del cuadrado unidad. Se demuestra que ambas tienen dimensión topológica igual a 1.

Partimos de un segmento de longitud unidad. Deducimos 9 nuevos segmentos, cada uno de longitud 1/3, que colocamos de la forma siguiente:

En la etapa p, obtenemos un conjunto formado por 9^p cuadrados de lado 3^-p. El objeto así engendrado es estrictamente autosemejante, ya que puede obtenerse como reunión de n=9 conjuntos semejantes a Q, reducidos cada uno de ellos en la proporción 1/k=1/3.

Para construir la curva de Peano como atractor de sistemas de aplicaciones afines necesitamos nueve aplicaciones de la forma

Las tablas que siguen relacionan los valores de los 54 coeficientes.

La curva de algoritmo constructivo que describimos a continuación, fue descrita en 1891 por Hilbert (1862-1943) en un artículo de exactamente dos páginas, poco mas tarde de que Giuseppe Peano describiese una curva análoga. Ambas tienen la notable propiedad de “llenar” el plano.

La curva comienza con un línea H₀ compuesta de 3 segmentos, cada uno de longitud unidad, que conecta los centros de cuatro cuadrantes.

En la etapa siguiente se realizan cuatro copias de H₀, reducidas en la proporción 1/3, y se colocan en los cuadrantes. Resulta H₁. Se observa que para construir H₁, es necesario unir las copias de H₀ con tres segmentos de longitud 1/2.

Para deducir H₂, se hacen cuatro copias de H0, reducidas en la proporción 1/2, se colocan como se indica y se unen las copias mediante tres segmentos , ahora de tamaño 1/4. Se observa, así, que el objeto que resulta no es estrictamente autosemejante.

La curva de Hilbert se obtiene como atractor del SFI siguiente:

Si el conjunto inicial es una línea quebrada como la que se representa a continuación

se obtienen transformaciones sucesivas cuyo límite es una curva de Hilbert.

El código de Gray, basado en una permutación del código binario tradicional, proporciona una representación de objetos ordenados de forma que, pasando de un objeto al siguiente, sólo tenemos que cambiar un bit de información. La distancia de Hamming entre la representación de un objeto y el siguiente (o el predecesor) es 1.

Codificación decimal, binaria tradicional y basada en el código de Gray:

Eventualmente – esto es importante en dispositivos mecánicos – el error medio en la transmisión es menor cuando se hace uso del código Gray.

A continuación se ilustra la correspondencia de los dígitos de 0 a 7 con los códigos de Gray, haciendo uso de una curva de Hilbert tridimensional.