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Benoît Mandelbrot - Concepto de estructura fractal - Autosemejanza - Dimensión topológica - Dimensión de recubrimiento - Galería de fractales clásicos: el conjunto de Cantor, la escalera del diablo, las curvas de Weierstrass, Mandelbrot-Weierstrass y Takagi, un ejemplo diferente, las curvas de Peano y de Hilbert, los dragones de Heighway y Lévy, la procesión de cangrejos, conjuntos autoafines, las curvas de Koch, Sierpinski, Kiesswetter y Given-Mandelbrot - Movimiento browniano - Fechas significativas - Algunas aplicaciones: la física de la música y el canto de los pájaros, sistemas críticamente autoorganizados, dithering de imágenes con la curva de Hilbert
Paul Lévy construyó un cuadro general en el que se puede colocar la curva de Von Koch, “que no es la única que tiene esta propiedad maravillosa”- con referencia a la autosemejanza. La memoria publicando los resultados se tituló “Les courbes planes ou gauches et les surfaces composées de partes semblables au tout”, Journal del l’École Politechnique, IIIe série,81,1938.
Se puede constatar el mérito del dibujante que, en 1938, año de la publicación del trabajo de Lévy, trazó la gráfica que se puede observar en la diapositiva siguiente, en la cual, a un tamaño de 22x34 cm., basó Lévy la evidencia de varias propiedades del conjunto.
Hoy día, disponemos de varias técnicas para generar aproximaciones numéricas del Dragón de Lévy. Por ejemplo, puede definirse como el atractor del sistema dinámico descrito por las transformaciones siguientes:
La curva, que es el límite alcanzado iterando sucesivamente, tiene dimensión topológica 2. Por otra parte, se demuestra que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es 2, de forma que no entraría en el concepto de fractal descrito por Mandelbrot en su manifiesto.
En su novela de Jurassic Park, Michael Crichton configura el índice de sus capítulos con siete iteraciones sucesivas en el proceso de construcción de esta curva, seguidas de un breve comentario de su personaje Ian Malcolm, el matemático especialista en caos.
Esta “curva” fue construida alrededor de 1967 por John E. Heighway. Igual que el dragón de Lévy, tiene dimensión topológica 1.
La curva, que es el borde de la imagen, tiene dimensión topológica 1.
Esta “curva” fue construida alrededor de 1967 por el físico de la N.A.S.A. John E. Heighway. De acuerdo con Martin Gardner (Festival Mágico-Matemático, Alianza Editorial), Heighway ilustró la construcción mediante el doblado conveniente de una hoja de papel.
Esta curva también se puede obtener como el atractor del sistema
La curva dragón de Heighway, que es el contorno de la figura así construida, tiene una interpretación en el contexto de los sistemas de numeración de base compleja y dos dígitos {0,1}. Si dibujamos los afijos de los complejos que tienen expresión en base 1-i con la forma 0.x1x2x3...xn..., tenemos una gráfica cuya silueta es la curva citada.
Se construye como el atractor del sistema
Los dragones de Lévy y Heighway, la procesión de cangrejos, así como la curva de Peano y la de Takagi, son casos particulares de los conjuntos generados por las aplicaciones afines C®C de la forma
donde a,b,c,d son parámetros complejos.
Para que las aplicaciones citadas sean contracciones, los parámetros deben verificar
