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Benoît Mandelbrot - Concepto de estructura fractal - Autosemejanza - Dimensión topológica - Dimensión de recubrimiento - Galería de fractales clásicos: el conjunto de Cantor, la escalera del diablo, las curvas de Weierstrass, Mandelbrot-Weierstrass y Takagi, un ejemplo diferente, las curvas de Peano y de Hilbert, los dragones de Heighway y Lévy, la procesión de cangrejos, conjuntos autoafines, las curvas de Koch, Sierpinski, Kiesswetter y Given-Mandelbrot - Movimiento browniano - Fechas significativas - Algunas aplicaciones: la física de la música y el canto de los pájaros, sistemas críticamente autoorganizados, dithering de imágenes con la curva de Hilbert
Inspirados por el hallazgo de Weierstrass, otros matemáticos trabajaron sobre curvas continuas sin tangente en punto alguno. Este es el caso del matemático suizo Helge Von Koch (1870-1924): “On a Continuous Curve without Tangents Constructible from Elementary Geometry”.
Casi inmediatamente después de la publicación del trabajo de Von Koch, Ernesto Césaro demostró que la curva en cuestión es autosemejante. Es decir, puede ser obtenida reuniendo cuatro partes de la misma, cada una de las cuales es semejante a la curva completa.
Estas curvas son otro ejemplo de curvas continuas y no diferenciables en ningún punto. Tienen longitud (medida de Lebesgue) infinita, pero limitan una superficie finita. Su dimensión topológica es 1.
La construcción de la curva de Von Koch se realiza partiendo de un segmento de longitud unidad. En la primera etapa del algoritmo, sustituimos dicho segmento por cuatro, cada uno de los cuales tiene longitud 1/3, y están colocados de la forma que indica la gráfica:
La versión que introdujo Von Koch en 1904 fue la denominada isla de Koch, cuya construcción comienza con un triángulo equilátero, aplicando luego a cada uno de sus lados un algoritmo análogo al descrito para la curva.
Es fácil ver que es posible obtener las distintas etapas en la progresión hacia la curva límite mediante el sistema de transformaciones contractivas siguiente:
Si designamos con D el área del triángulo de partida, el área de la figura obtenida en la etapa k se escribe
cuyo límite, cuando k®¥, alcanza la cantidad 8D/5.
El matemático polaco W. Sierpinski (1882-1969) describe el conjunto ahora denominado “Triángulo de Sierpinski” en el artículo “Sur une courbe dont tout point est un point de ramification”, C. R. Acad. París, 1915.
Este conjunto tiene dimensión topológica 1 y medida de Lebesgue nula. Se trata de una estructura autosemejante.
Se trata de otro ejemplo de curva continua no diferenciale en todos sus puntos. Este ejemplo es análogo a uno dado por Bolzano alrededor de 1830 (por tanto, antes que Weierstrass leyera su trabajo) y publicado 100 años más tarde.
Se puede generar como atractor un sistema de cuatro aplicaciones afines de la forma
aplicado de forma iterativa. Los coeficientes son:
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a
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b
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c
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d
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e
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f
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0.25
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0
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0
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-0.5
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0
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0
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0.25
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0
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0
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0.5
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0.25
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-0.50
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0.25
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0
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0
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0.5
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0.50
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0
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0.25
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0
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0
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0.5
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0.75
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0.50
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Recordemos que el algoritmo para generar la curva de Von Koch parte de un segmento de longitud l. En la primera etapa, dicho segmento se transforma en cuatro segmentos de longitud l/3, colocados como indica la ilustración.
Given y Mandelbrot han construido un modelo físico (percolación) mediante un algoritmo análogo, que conduce a una estructura fractal más sofosticada.
Se parte de un segmento de longitud l y se transforma en ocho de longitud l/3 colocados como se muestra en la gráfica.
Supongamos que esta curva está construida con un material conductor y que conectamos los extremos izquierdo y derecho a una fuente de energía eléctrica. La corriente no fluye a través de todos los segmentos.
La corriente eléctrica está confinada en el ‘backbone’ (columna vertebral) de la estructura, que se puede deducir cambiando el algoritmo de construcción.
La novedad es que disponemos de una estructura fractal (el ‘backbone’) dentro de otra estructura fractal (curva de Given-Mandelbrot). Otra estructura diferente está formada por los segmentos que suponen una conexión simple, también fractal. Tenemos así una suerte de ‘fractal de fractales’.
Muchos fenómenos físicos seleccionan de forma natural sub-estructuras dentro de las estructuras en las que dichos fenómenos tienen lugar.
Hablaremos de esta clase de (nuevos) objetos más adelante: son ‘multifractales’.
