La selección particular de tonos que ha hecho el género humano, asociados con ciertas frecuencias, ha sido una constante desde que las distintas civilizaciones descubrieron la posibilidad de construir sucesiones de sonidos interesantes.

Pitágoras observó que si dividimos una cuerda en dos secciones mediante un pequeño puente, cada parte vibra con frecuencia 2f , frecuencia doble de la correspondiente a la cuerda en la situación original. El experimento así descrito conduce a dos octavas consecutivas. A partir de Pitágoras (incluido), las distintas civilizaciones establecieron varias discretizaciones sobre las octavas, dando lugar a diferentes sucesiones de notas musicales.

Una octava es, por tanto, el intervalo entre dos tonos cuyas frecuencias asociadas son f y 2f, respectivamente. Dentro de la evolución de la música de la civilización occidental, desde el año 1800, una octava se divide en 12 intervalos iguales, y desde 1939, la International Standards Association acordó establecer la frecuencia de 440 Hz para la nota A4 del teclado de un piano.

Una nota musical lleva asociada una frecuencia f definida por la relación

Siendo p=2^(1/12)

Esta ley hiperbólica puede escribirse en la forma

log[S(f)]=constante-log(f)

donde la variable frecuencia f puede expresarse en semitonos. Así, una gráfica doblemente logarítmica de log[S] frente a log(f), resulta una línea recta de pendiente -1.

Esta no es la única ley de potencia que se cumple. El espectro de las amplitudes sigue también una ley de potencia con el mismo exponente. La amplitud de la música se obtiene mediante regularización temporal de la magnitud de la presión de sonido que se registra en las proximidades de la orquesta.

¿Seleccionó Bach una ley de potencias hiperbólica cuando compuso su música?

Evidentemente, no. Los compositores crean sonidos de forma que, de acuerdo con su criterio, resultan interesantes. La cuestión es: ¿Por qué (al menos alguna) música interesante presenta para el espectro de potencia y para el espectro de las amplitudes comportamientos que siguen leyes de potencia?

El matemático americano George David Birkhoff (1884-1944) propuso una teoría de acuerdo con la cual, para que el resultado de un trabajo de arte fuese interesante, no debería ser demasiado regular ni predecible, ni tampoco exhibir demasiadas sorpresas. Trasladada esta teoría al campo de las matemáticas, podría ser interpretada diciendo que el espectro de potencia no debería ser muy ‘browniano’ (proporcional a f^-2) ni semejante a un ruido blanco ( proporcional a f⁰).

En un proceso de ruido blanco, cada valor del proceso es independiente de su pasado (es una completa sorpresa). En contraste, en la música browniana, sólo los incrementos son independientes del pasado, dando lugar a una composición más aburrida.

Aparentemente, lo que la mayor parte de los intérpretes prefieren, es una música en la que la sucesión de notas no es ni predecible ni demasiado sorprendente. En otras palabras, su espectro deberá variar como f^a, con -2<a<0.

Puesto que el espectro de potencia de cualquier ruido que obedece a una ley f^a es autosemejante, la curva subyacente también lo será. De hecho, si el eje de frecuencias del espectro se multiplica por un factor r, el eje de tiempos de la correspondiente curva resulta escalado en la proporción 1/r. Por supuesto, en el caso del ruido, la autosemejanza es sólo estadística.

En estas condiciones, una composición musical ¿puede ser resumida, obteniendo un ‘abstract’ como en una composición literaria o un artículo científico? En otras palabras, ¿podemos establecer un algoritmo de reducción, que genere composiciones cuya duración sea 1/2, 1/4,… de la original sin perder sus rasgos identificativos?

La teoría del comportamiento 1/f del espectro de potencia, responde afirmativamente. Y, en la práctica, si efectuamos reducciones sucesivas de una composición de Bach (hasta un límite, que siempre marca la Física), el resultado aún ‘suena’ como Bach.

Partiendo de grabaciones realizadas directamente en la Naturaleza, los sonidos a menudo se componen de una o dos notas, o incluyen combinaciones de tonos que no son ‘frecuentes’ en los ruidos rosa. Posiblemente, sólo combinando varios cánticos de diferentes especies se podría obtener algo parecido a un ruido fractal.

Sin embargo, el canto de los pájaros es muy rápido y con tonos muy altos. El sonido grabado, puede ser editado rebajando su duración 2, 4, 8, …, 128 veces respecto de su duración original, lo que equivale a rebajar las octavas 1, 2, 3, …, hasta 7 veces, respectivamente.

El tono de los pájaros va desde 2 a 6 kHz. Una reducción de 4 octavas, rebaja este rango hasta 125 a 750 Hz, que está dentro del rango de frecuencias correspondientes a la voz humana. Al mismo tiempo, la velocidad de 50 a 150 modulaciones de tono por segundo, se reduce al rango 3 a 10, que se encuentra dentro del rango de lo que puede ser interpretado por un pianista.

Haciendo uso de esta técnica, melodías indistinguibles pueden ser transformadas en secuencias en cierta forma análogas a un sonido folk. La estructura melódica del resultado, guarda una semejanza considerable con la música generada por seres humanos.

Las reducciones de la música de Bach aún suenan como Bach. Las reducciones de los cantos de pájaros, han cambiado las secuencias originales en estructuras melodiosas. La transformación no conduce, como antes, a la autosemejanza, sino a la autoafinidad: los factores de escala para coordenadas diferentes no son los mismos.

Los pájaros cantan con diferentes tonos y diferentes velocidades de modulación probablemente a causa de que su vida es considerablemente más corta que la nuestra. Mientras nuestro sistema neurofisiológico está sintonizado para tonos de cientos de hertzios, la sensibilidad de los pájaros está en el rango de los kilohertzios.

Si los pájaros hubiesen adoptado una escala de tiempo diferente para su vida musical ¿Hay algo de absoluto en la escala que corresponde al homo sapiens, una de entre millones de especies del mundo orgánico?

¿No es ésta la esencia de la geometría fractal del tiempo?