Consideremos una colección de electrones, o una pila de granos de arena, o un balde de agua, o una malla de muelles elásticos, o un ecosistema, o el colectivo de los almacenistas-distribuidores. Cada uno de estos sistemas, está constituido por muchos componentes que intercambian entre sí fuerzas o información.

Además de estas interacciones internas, el sistema puede estar afectado por alguna fuerza externa: un campo eléctrico o magnético, el campo gravitatorio, cambios en el medio ambiente, etc. El sistema evolucionará ahora bajo la influencia de las fuerzas externas y de las interacciones internas.

La cuestión que se plantea es si exista algún mecanismo simplificador que produce un comportamiento típico, compartido por amplias clases de sistemas, o, por el contrario, el comportamiento del sistema dependerá siempre de forma esencial de los detalles específicos de cada sistema.

La publicación de Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld “Self-organized critically: An explanation of 1/f noise”, Phys. Rew. Lett. 59, 381-384, 1987, contenía la hipótesis de que los sistemas que consisten en un colectivo de muchos constituyentes que interactúan entre sí, pueden exhibir algún comportamiento general característico.

Aunque la respuesta dinámica del sistema es compleja, en el sentido de que no existe un tamaño de acontecimiento ni una escala característicos, el aspecto simplificador es que las propiedades estadísticas se describen mediante leyes de potencia simples, cuyos exponentes pueden ser semejantes para sistemas que presentan una apariencia muy diferente.

Muchos fenómenos en la Ciencia y en la Naturaleza permiten un modelo compatible con esta teoría. Los primeros ejemplos han sido pilas de arena, terremotos e incendios en el bosque. Últimamente la idea ha sido extendida a la Economía y a las teorías sobre evolución biológica.

Los principios de la auto-organización crítica se ilustran haciendo uso de un autómata celular bidimensional. Consideremos una caja cuadrada dividida en n² cajas de lado L/n. El fenómeno que queremos estudiar se refiere a la evolución del sistema que resulta cuando añadimos granos de arena a cada caja, de acuerdo con un algoritmo establecido.

Al añadir arena en una caja determinada, la pendiente de la correspondiente pila se ve incrementando, hasta llegar a un valor crítico. En tal caso, la pila se derrumba y transmite arena a las cajas vecinas, que, a su vez, pueden alcanzar una pendiente crítica por esta razón o por la adición de arena desde el exterior.

El derrumbamiento de la pila correspondiente a una caja, libera la tensión acumulada en el pasado, pudiendo de nuevo admitir nuevas aportaciones de arena (tensión), hasta, eventualmente, alcanzar un nuevo estado crítico.

El modelo recibe partículas y las pierde por el contorno lateral de la caja ‘madre’.

El algoritmo con el que intentamos describir el modelo es como sigue:

1.- Se añade una partícula al azar a una de las cajas;

2.- Cuando una caja tiene cuatro partículas, se vuelve inestable, y las cuatros partículas son transmitidas a las cajas vecinas, quedando vacía la caja considerada.

3.- Si después de la redistribución de partículas desde una caja a sus vecinas cualquier caja adyacente tiene 4 o más partículas, se convierte en inestable, lo que puede provocar una o más redistribuciones adicionales. En cajas grandes, son posibles múltiples acontecimientos de esta clase.

4.- Si no existe caja adyacente, la partícula se pierde por el contorno. En promedio, el número de partículas añadidas y perdidas es el mismo.

Un acontecimiento múltiple, puede alcanzar proporciones considerables, abarcando una fracción de cajas importante.

El comportamiento del sistema está caracterizado por la distribución estadística frecuencia-tamaño de los acontecimientos. El tamaño de un acontecimiento múltiple puede ser caracterizado de diversas formas. Una de ellas consiste en evaluar el número de cajas afectadas por inestabilidad en un acontecimiento múltiple.

En las primeras etapas de adición de partículas, no hay redistribuciones ni pérdidas por el contorno. Eventualmente, el sistema alcanza un estado de casi-equilibrio, en el que la distribución frecuencia-tamaño es fractal. Este es el estado que corresponde a la auto-organización crítica.

donde t@1 para tamaños de cluster s que van desde cajas de 500x500 hasta 50x50.

Los tiempos de duración (life-time) de las avalanchas, con independencia del tamaño de las mismas, sigue también una ley potencial de la forma

El comportamiento del modelo de autómata celular descrito, posee semejanzas notables con la seismicidad asociada con una zona tectónica activa. La adición de partículas a la malla, es un modelo para la adición de tensión debida al desplazamiento relativo entre las dos superficies de las placas continentales (considérese, por ejemplo, la falla de San Andrés).

Los acontecimientos múltiples en los que las partículas son transferidas y/o perdidas son análogos a los terremotos en los cuales parte de la tensión acumulada es transferida y otra perdida. Existe una gran semejanza entre las estadísticas frecuencia-magnitud de acontecimientos múltiples y las estadísticas de Gutenberg-Richter para terremotos.

La ley de potencia de Gutenberg-Richter para la distribución de la energía liberada por un terremoto tiene la forma

N(energía liberada>E)=cte.E^-c

y, puesto que la magnitud M es el logaritmo de la energía liberada

log(número(magnitud>M))=cte.-cM