Capítulo 2 - Conceptos de dimensión fractal. Estimación teórica y numérica


	$Capítulo 2 - Conceptos de dimensión fractal. Estimación teórica y numérica$ [01 - 02 - 03 - 04 - 05 - 06 - 07 - 08] La dimensión fractal - Conceptos de dimensión - Dimensión de escala y ejemplos - Dimensión de escala generalizada - Fractales físicos y comportamiento de escala: Korkac, Hurst, Zipf, la costa de Noruega y Richardson - Leyes de escala y dimensión - Medida y dimensión de Hausdorff - Dimensión por recuento de cajas (box-counting) - Otros conceptos y mecanismos para determinar dimensiones fractales: Richardson (walking-divider), dimensión de Bouligand-Minkowski, dimensión de masa, la huella fractal.

	$La dimensión fractal$ Uno de los procedimientos para caracterizar e incluso para clasificar los objetos fractales consiste en atribuir a cada uno de ellos una cantidad numérica, la dimensión fractal. Para realizar esta atribución, exigiremos a la cantidad numérica correspondiente, que satisfaga algunas propiedades que contribuirán a dotar de credibilidad al citado parámetro.

REQUISITOS DE YAMAGUTI	Los requerimientos apuntados por Yamaguti y otros en “Mathematics of Fractals”, referidos a subconjuntos de Rⁿ, y considerados como una relación de “mínimos” a satisfacer por cualquier concepto de dimensión, son los siguientes: (a) Para conjuntos constituidos por un solo elemento {a}, la dimensión deberá ser 0. Para el intervalo unidad [0,1], el valor deberá ser 1. (b) Carácter monótono: Si XÌY, la dimensión de X deberá ser menor o igual que la dimensión de Y. (c) Estabilidad numerable: Sea X_j una sucesión de conjuntos cerrados de Rⁿ. Entonces,

	(d) Invariancia: Para alguna clase de aplicaciones y de Rⁿ en Rⁿ (homeomorfismos para la dimensión topológica)


CUANTIFI- CACIÓN DE CONJUNTOS	Una de las interpretaciones de la dimensión, posiblemente la mas natural, está relacionada con la capacidad de los objetos para ocupar el espacio euclidiano en el que se encuentran sumergidos. Dicho de otra forma, la dimensión ayudará en la determinación del contenido o medida de un conjunto, en particular de los conjuntos fractales. Así, cuantificar fractales será definir, por algún procedimiento, la proporción del espacio físico en el que se inscriben que es llenado por ellos. Estableceremos distintos conceptos de dimensión que, por otra parte, hacen uso de algunos objetos euclidianos (conjuntos abiertos, cerrados, segmentos, bolas, etc) y los pasos a límite correspondientes. Encontraremos una diferencia fundamental con los objetos euclidianos: Teniendo en cuenta que se cumple la propiedad (4) establecida al tratar el concepto de objeto fractal: (4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica; los valores obtenidos serán racionales o irracionales (no enteros). Habitualmente, para cuantificar conjuntos buscamos “bloques unidad” con los que compararlos. La correspondiente suma proporciona la longitud, área o volumen del conjunto considerado. Esta técnica funciona con objetos euclidianos, incluyendo eventualmente procesos de paso a límite. Cuantificación del área de un círculo Para objetos fractales no disponemos de bloques unidad semejantes. Por ejemplo, si magnificamos sucesivamente un objeto euclidiano “unidimensional”, encontramos segmentos rectilíneos. Sin embargo, si magnificamos sucesivamente un objeto fractal, encontramos objetos con niveles de complicación comparables a los del conjunto de partida.

NO MÁS DE LAS NECESARIAS	Como ya hemos adelantado, estableceremos varios conceptos de dimensión. Una de las razones fundamentales de la diversidad es la gran variedad de la naturaleza de los objetos fractales que debemos considerar. Por otra parte, los diferentes conceptos son útiles, porque generan puntos de vista distintos.

NO NECESARIA- MENTE IGUALES	Veremos, además, que las cantidades numéricas asociadas con los diversos conceptos no son necesariamente coincidentes, de forma que tendremos ocasión de comparar las citadas cantidades cuando están referidas al mismo objeto.

EN MUCHOS CASOS NUNCA SE CONOCERÁN CON PRECISIÓN	Algunas clases de dimensión, cuando se aplican a determinadas estructuras, existen más como argumentos teóricos. En muchos casos, deberemos conformarnos con obtener estimaciones de cotas superioes o inferiores y, en la mayor parte de ellos, la solución vendrá de la mano de aproximaciones numéricas.

IGUALES NO SIGNIFICA IGUALES	Finalmente, la asignación a cada estructura de una cantidad numérica derivada de un concepto de dimensión, no caracteriza de forma exclusiva a la citada estructura. En efecto, encontraremos objetos con la misma dimensión fractal, con apariencia y propiedades muy diferentes entre sí.

MÁS ALLÁ DE LOS FRACTALES	Además, aunque una estructura sea de naturaleza fractal, la asociación de una cantidad numérica global en concepto de dimensión, a veces es menos eficaz que proceder a la asignación de un espectro de dimensiones, entrando así en el ámbito de objetos y modelos más sofisticados, los multifractales.

	Suponemos que todos los conjuntos que tratamos son subconjuntos de Rⁿ.

DIMENSIÓN EUCLIDIANA	De esta forma, el primer concepto de dimensión que que consideramos, es el que corresponde al espacio euclidiano en el que se encuentra sumergido el conjunto objeto de estudio. La designaremos en adelante con el símbolo D_E y la denominaremos dimensión euclidiana.

DIMENSIÓN TOPOLÓGICA	Ya hemos mencionado en el capítulo anterior la dimensión topológica, que, como la anterior, es un número entero positivo o cero. En adelante, esta dimensión será designada con el símbolo D_T.

DIMENSIÓN DE ESCALA	Seguidamente, estableceremos el concepto de dimensión de escala, válida únicamente para estructuras estrictamente autosemejantes. Será designada con el símbolo D_S.