Capítulo 2 - Conceptos de dimensión fractal. Estimación teórica y numérica


	$Capítulo 2 - Conceptos de dimensión fractal. Estimación teórica y numérica$ [01 - 02 - 03 - 04 - 05 - 06 - 07 - 08] La dimensión fractal - Conceptos de dimensión - Dimensión de escala y ejemplos - Dimensión de escala generalizada - Fractales físicos y comportamiento de escala: Korkac, Hurst, Zipf, la costa de Noruega y Richardson - Leyes de escala y dimensión - Medida y dimensión de Hausdorff - Dimensión por recuento de cajas (box-counting) - Otros conceptos y mecanismos para determinar dimensiones fractales: Richardson (walking-divider), dimensión de Bouligand-Minkowski, dimensión de masa, la huella fractal.

	Un segmento de longitud l se puede construir con 2 segmentos de longitud l/2 cada uno. Un cuadrado de lado l se puede construir con 2² cuadrados de lado l/2. Un cubo se puede construir con 2³ objetos cúbicos de lado l/2. Una estructura autosemejante se puede construir con N objetos, cada uno de ellos reescalado en la proporción 1/k respecto de la estructura original. En la ilustración precedente, N=k^D, con k=2, D=1,2 o 3, respectivamente. En general, podemos permitir que N y k sean números naturales cualesquiera, de forma que D no resultará necesariamente un número entero. Caracterizamos así un objeto autosemejante a través de una ley de escala N=k^D, o más generalmente,

DEFINICIÓN DE DIMENSIÓN DE ESCALA	En estas condiciones definimos la dimensión de escala de la estructura autosemejante F:

	De esta expresión resulta evidente que la dimensión de escala no es una cantidad generalmente entera.



CONJUNTO TRIÁDICO DE CANTOR	Como ya hemos visto, este conjunto de Cantor C puede obtenerse como la reunión de dos semejantes, cada uno de ellos versión reducida de C en la proporción 1/k=1/3. Resulta así

	Recordemos que la dimensión topológica de este conjunto es 0. Así, teniendo en cuenta que tiene la potencia del continuo, parece más razonable asociarle una dimensión como 0.6309..., que explica que este conjunto está “mas cerca” de la naturaleza del segmento [0,1] que de la de un subconjunto numerable del mismo, por ejemplo.

CURVA DE KOCH	Como sabemos, en la etapa p, obtenemos un conjunto formado por 4^p segmentos, cada uno de ellos de longitud 3^-p. El objeto así creado K es estrictamente autosemejante, puesto que puede obtenerse como reunión de cuatro objetos semejantes a K, reducido cada uno en la proporción 1/3. La dimensión de escala resulta

	Recordemos que la dimensión topológica de esta curva es 1, de forma que, la atribución de la cantidad 1.2618... explica mejor las características de este conjunto, cuya longitud es infinita, a pesar de tener soporte finito. En todo caso, está mas cerca de la naturaleza de una curva que de la correspondiente a un conjunto “plano”.

UN COPO DE NIEVE MATEMÁTICO	Consideremos el intervalo I=[0,1]x[0,1]. Mediante los segmentos obtenidos haciendo x₁=1/3, x₂=2/3, y₁=1/3, y₂=2/3 resultan 9 cuadrados sobre I, de los que se conservan el que ocupa la posición central y los cuatro que ocupan la posición diagonal, prescindiendo de los 4 restantes. Repitiendo el algoritmo sucesivamente, se obtiene el copo de nieve matemático Q En la etapa p, obtenemos un conjunto formado por 5^p cuadrados de lado 3^-p. El objeto así engendrado es estrictamente autosemejante, ya que puede obtenerse como reunión de 5 conjuntos semejantes a Q, reducidos cada uno de ellos en la proporción 1/3. La dimensión de escala resulta


CURVA DE PEANO	En la etapa p, obtenemos un conjunto formado por 9^p cuadrados de lado 3^-p. El objeto así engendrado es estrictamente autosemejante, ya que puede obtenerse como reunión de N=9 conjuntos semejantes a P, reducidos cada uno de ellos en la proporción 1/k=1/3 La dimensión de escala resulta

	Recordemos que la dimensión topológica de esta curva es 2. Siendo también 2 la dimensión de escala, vemos que esta cantidad explica también el hecho de que la curva “llena” un espacio.

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI	Es un ejemplo de un conjunto de apariencia “plana” con dimensión topológica 1. Se construye con N=3 y 1/k=1/2, de forma que


TAPIZ DE SIERPINSKI	Se forma con N=8 piezas, copias semejantes de la pieza original, con razón de semejanza 1/k=1/3. La dimensión de escala es


DRAGÓN DE HEIGHWAY	Esta curva puede construirse como reunión de dos partes (N=2), cada una de las cuales es una copia semejante de la original de razón

	La dimensión de semejanza es, en este caso,


ESPONJA DE MENGER	Es un fractal estrictamente autosemejante, que puede ser construido a partir de 27-1=26 cubos semejantes, cada uno de ellos reducido en la proporción 1/3 respecto del conjunto completo. Así,

	La dimensión topológica es 1.

	Teniendo en cuenta que para una estructura autosemejante escribimos

	donde k=1/r, es decir,

	cabe interpretar que la contribución de cada una de las N partes a esta expresión es r^D. Si tenemos una estructura que se puede obtener como reunión de copias, con una escala diferente para cada una de ellas, r₁, r₂, ..., r_N, es razonable definir la dimensión de escala como la solución real de la ecuación en D siguiente:


CONJUNTO DE CANTOR CON DOS ESCALAS	Consideremos un conjunto de Cantor construido con dos escalas r₁=1/4 y r₂=2/5, en lugar de la escala única 1/3 utilizada en la versión triádica. La dimensión de escala será la solución de la ecuación