En 1938 J. Korcak calculó una relación empírica para determinar el número de islas en una región geográfica cualquiera, con una superficie superior a r, mediante una expresión de la forma

donde a y D son constantes.

Korcak suponía D=1/2, pero Mandelbrot observó que el valor de D varía entre regiones geográficas y que D>1/2.

El valor observado para toda la Tierra es D=0.65, variando entre D=0.5 para África (una gran isla enorme y otras, cuyo tamaño decrece rápidamente) y D=0.75 para Indonesia y Norteamérica (menos predominio de islas grandes).

H. E. Hurst dedicó parte de su vida a diseñar la gran presa de Assuan. Con este motivo, estudió series temporales relacionadas con el caudal del río Nilo y los problemas relacionados con el almacenamiento de agua. Con este motivo, inventó un nuevo método estadístico (rescaled range analysis - R/S análisis), que describió con detalle en su libro “Long-Term Storage: An Experimental Study”, 1965.

Hurst investigó muchos fenómenos naturales, y utilizó una relación adimensional R/S, donde R indica el rango (por ejemplo la diferencia entre el valor de la descarga máxima acumulada de un lago y la mínima, a lo largo del periodo de estudio) y S la desviación típica de los valores observados de las descargas X.

Hurst observó que la relación R/S estaba bien descrita, para una número considerable de fenémenos, por una ecuación de la forma

donde t es el periodo de tiempo estudiado, medido en años. El exponente de Hurst H está distribuido aproximadamente de forma simétrica alrededor de un valor medio 0.73 con un desviación 0.09.

Sin embargo, haciendo una simulación, se prueba que, asociando al modelo variables aleatorias independientes, el valor de R/S está dado por

Esto conduce a conjeturar que las descargas sucesivas no son independientes. Sin embargo, la razón por la que fenómenos naturales tan distintos satisfacen la relación encontrada por Hurst, es una cuestión abierta (J. Feder en “Fractals”).

Un exponente de Hurst en el rango 0.5<H<1 corresponde a series temporales que muestran persistencia (un periodo de crecimiento es seguido de otro análogo), mientras que los valores tales que 0<H<0.5 corresponden a un comportamiento antipersistente (un periodo de crecimiento es seguido de otro de decrecimiento).

Ordenemos las palabras de una locución, por orden decreciente, según su frecuencia en una muestra del habla de una persona. Sea r el lugar ocupado por una palabra de probabilidad P.

En 1949 Zipf divulgó una relación “universal” (independiente de otros parámetros) entre r y P:

siendo R el número de palabras diferentes. En inglés, con R=12000, la frecuencia relativa de las palabras mas usuales (the, of, and, to, etc) resulta aproximadamente 0.01, 0.05, 0.033, 0.025, etc.

Manfred Schroeder en "Fractals, Chaos, Power Laws"

En un intento infructuoso de Mandelbrot para deducir la ley anterior, obtuvo

Los parámetros D, F y V miden la riqueza del vocabulario de un orador.

El parámetro principal es D. Una manera razonable de medir la riqueza del vocabulario de un sujeto, consiste en hallar la frecuencia relativa del uso de palabras raras. Por ejemplo, la frecuencia de la palabra r=1000 respecto a la r=10. Esta frecuencia relativa aumenta con D.

Nos planteamos establecer un mecanismo para estimar la longitud de la costa de Noruega a partir de mapas. Podemos utilizar un arco de d=50 km. y contar el número de movimientos necesario para abarcarla. La longitud resultaría entonces L=N(d)xd.

Sin embargo, el valor de L aumenta sin límite cuando d decrece sucesivamente.

J. Feder en "Fractals"

La gráfica log-log muestra que no hay signos de que L se aproxime a una constante cuando d®0. De hecho, la longitud medida está sorprendentemente bien estimada por la expresión

encontrando en este caso D=1.52.

J. Feder en "Fractals"

En el ensayo de Mandelbrot hay un capítulo titulado “How Long Is the Coast of Britain?”. Mandelbrot analiza los datos recogidos por Richardson para algunas costas y fronteras. La costa de Bretaña tiene D=1.3. La circunferencia, D=1, como se esperaba.

Cuando un sistema sigue una ley de escala, sus propiedades se hacen independientes de la escala de observación.

Las leyes de escala aparecen en una gran cantidad de fenómenos. De forma general, se puede decir que estas leyes aparecen cuando una gran cantidad de elementos interaccionan entre sí para producir una estructura de un nivel superior.

Por ejemplo, en una costa intervienen: los fenómenos meteorológicos, los fenómenos geológicos, las mareas, la acción del hombre, la acción de la fauna y de la flora, el tipo de materiales, ...

En los casos que acabamos de describir, aparecen modelos de fenómenos en forma de ley potencial análogos a los establecidos al estudiar situaciones de autosemejanza.

En cada caso aparece un parámetro D, que desde algún punto de vista cabe interpretar como una dimensión. Esta cantidad será relacionada con conceptos diversos de dimensión fractal.