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La dimensión fractal - Conceptos de dimensión - Dimensión de escala y ejemplos - Dimensión de escala generalizada - Fractales físicos y comportamiento de escala: Korkac, Hurst, Zipf, la costa de Noruega y Richardson - Leyes de escala y dimensión - Medida y dimensión de Hausdorff - Dimensión por recuento de cajas (box-counting) - Otros conceptos y mecanismos para determinar dimensiones fractales: Richardson (walking-divider), dimensión de Bouligand-Minkowski, dimensión de masa, la huella fractal.
El concepto de dimensión de Hausdorff, debido a Felix Hausdorff (1919), está basado en un concepto previo de medida. Esto no es extraño, si tenemos en cuenta que uno de los problemas de los conceptos tradicionales dimensión , por ejemplo, consiste en discrepancias entre los valores dimensionales y las medidas de los conjuntos.
Sea F un conjunto acotado de Rn y
(a) dos números reales 0£D£n, e>0
(b) V={Vi} un recubrimiento finito o numerable de F con conjuntos de diámetro di£e
La cantidad HD así definida tiene las propiedades que debe tener una medida, si nos limitamos a los subconjuntos de Borel de Rn.
si F1ÌF2 entonces HD(F1)£HD(F2);
si {Fi} es una colección (numerable) de conjuntos de Borel de Rn, tales que FiÇFj=Æ si i¹j, entonces HD(ÈFi)=HD(Fi)
Además de las propiedades anteriores, interesan las relacionadas con el comportamiento de las imágenes de los conjuntos bajo aplicaciones razonables. Por ejemplo, aplicaciones que satisfacen la condición de Lipschitz, isometrías o semejanzas.
Para FÌRn, sea f:Rn®Rm una aplicación de Lipschitz de constante c>0 tal que "x,yÎF:
Si F es un conjunto numerable de puntos en Rn, se tiene HD(F)=0, D>0.
Si F es el conjunto triádico de Cantor, se tiene H1(F)=0.
Si F es una triángulo de Sierpinski, o una curva de Van Koch,
entonces H1(F)=¥,
H2(F)=0.
Se puede construir un razonamiento equivalente haciendo uso de recubrimientos B={Bi} de bolas de Rn, obteniendo así una medida que, para cualquier conjunto F es menor o igual que HD(F).
Esto resulta conveniente para preparar una ilustración geométrica que permitirá comprender mejor el concepto de dimensión de Hausdorff.
Supongamos n=2. Si tomamos D=1, las sumas SH(e,1) aproximan la medida de F mediante la suma de los diámetros de Bi. Para una curva rectificable, resultaría una estimación de su longitud. Para una curva de Koch, el proceso de paso a límite conduciría a una longitud infinita.
Tomamos ahora D=2. Las sumas SH(e,2) aproximan la medida de F a través de un valor proporcional a la suma de las áreas de los círculos. Para una curva rectificable, después del paso al límite, resultaría 0. Para un recinto de R2 limitado por una frontera razonable, el área del recinto.
Consideremos una curva de Koch. Para D=2, el resultado sería 0; Para D<2, D próximo a 2, el resultado seguiría siendo 0; Para D>1, D próximo a 1, el resultado sería ¥.
