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La dimensión fractal - Conceptos de dimensión - Dimensión de escala y ejemplos - Dimensión de escala generalizada - Fractales físicos y comportamiento de escala: Korkac, Hurst, Zipf, la costa de Noruega y Richardson - Leyes de escala y dimensión - Medida y dimensión de Hausdorff - Dimensión por recuento de cajas (box-counting) - Otros conceptos y mecanismos para determinar dimensiones fractales: Richardson (walking-divider), dimensión de Bouligand-Minkowski, dimensión de masa, la huella fractal.
De acuerdo con esto, podemos buscar
Estos valores existen para cualquier conjunto, son iguales, y constituyen la dimensión de Hausdorff del conjunto F.
Conviene subrayar que la medida de Hausdorff de F para D=DH(F) puede ser 0, ¥ o cualquier número positivo.
Por ejemplo, para la curva de Koch triádica K, se demuestra que para
la medida de Hausdorff es finita.
Para ilustrar la afirmación anterior, consideremos un recubrimiento particular de la curva. En la etapa de construcción k, para un recubrimiento construido con 4k segmentos de longitud 3-k, tenemos:
Para el conjunto triádico de Cantor C, construido por supresión reiterada del tercio medio, para
La dimensión de Hausdorff satisface las siguientes propiedades elementales:
Si FÌRn, entonces
DH(F)£n;
Si F es un conjunto finito o numerable, DH(F)=0.
Si F es un subconjunto abierto de Rn, entonces DH(F)=n.
Se cumplen la propiedades de monotonía y estabilidad numerable, relacionadas al principio del presente Capítulo:
Si F1ÌF2,
entonces DH(F1)£DH(F2);
Para cuaquier sucesión de conjuntos X1, X2,...
Esta propiedad se puede comparar con el carácter invariante de la dimensión topológica respecto de los homeomorfismos.
La dimensión de Hausdorff tiene un interés teórico fundamental, particularmente en el contexto de la Geometría Fractal.
Sin embargo, su determinación es difícil incluso para fractales relativamente simples. Además, este concepto de dimensión es poco adecuado para su tratamiento numérico.
