El concepto de dimensión que describimos ahora, tiene su antecedente en el descrito por Pontrjagin y Schnirelmal en 1932, y fue desarrollado posteriormente (1959) por A.N. Kolmogorov.

Se trata de un concepto geométrico, para el que es posible deducir algoritmos para su estimación numérica.

Sea N(e) el menor número de conjuntos de radio menor o igual que e necesario para recubrir el conjunto compacto FÌRⁿ. Las dimensiones inferior y superior por recuento de cajas del conjunto F se definen como

Si las dos cantidades así definidas son iguales, se tiene la dimensión por recuento de cajas (box counting dimension) del conjunto F:

Falconer describe hasta cinco definiciones equivalentes de la b.c.d., basadas en recubrimientos con bolas cerradas de radio e o con cubos de lado e, basadas en el número de cubos de una malla de lado e que nterceptan F o en el mayor número de bolas disjuntas de radio e centradas en puntos de F.

Teniendo en cuenta las equivalencias citadas, revisaremos la definción, de forma que sea posible una interpretación geométrica mas natural. Sea N(e) el menor número de bolas de radio e necesario para recubrir el conjunto compacto FÌRⁿ, entonces la D-medida de F satisface, aproximadamente,

Mas formalmente, sea F un conjunto no vacío y acotado de Rⁿ y

(a) dos números reales 0£D£n, e>0
(b) B={B_i} un recubrimiento de F con bolas de radio e.

Construimos las sumas

Esta cantidad puede ser finita o infinita.

Si en particular se cumple N(e)e^D=a, cantidad positiva finita distinta de cero,

si este límite existe.

El aspecto de esta expresión es muy diferente de la que interviene en la definición de la dimensión de Hausdorff.

Sin embargo, una diferencia a subrayar está en la clase de recubrimiento utilizado. Para D_H se hace uso de bolas con diferente radio y para D_B las bolas son del mismo radio.

Sea F el conjunto de los números racionales de [0,1]. Se tiene: D_H(F)=0 y D_B(F)=1

Sea C el conjunto triádico de Cantor y K la curva de Van Koch triádica:

Estas relaciones son ciertas para una amplia clase de conjuntos que incluyen muchos modelos fractales.

Con carácter mas general:

Como ya hemos adelantado, la dimensión de Hausdorff es computacionalmente difícil de tratar en el caso general. La dimensión de recuento de cajas conduce de manera natural a otras cantidades dimensionales mas fáciles de tratar numéricamente.

En muchos casos, se cumple D_H(F)=D_B(F)

Pero, incluso en algunos conjuntos muy simples, las cantidades son diferentes. El ejemplo más repetido es el del conjunto numerable

En el proceso de determinación de la dimensión por recuento de cajas, reemplazamos la evolución de la variable e por una sucesión {e(k)}:

Sea {e(k)} una sucesión de números positivos que cumple dos condiciones:

Mediante este mecanismo, hemos discretizado el proceso de paso a límite.

Como ya hemos manifestado, las bolas pueden ser sustituidas por otra clase de recintos que se adapten mejor a la construcción de un algoritmo. Así, consideremos n=2 y cajas diádicas, una sucesión de cajas de lado 2^-k configuradas como una sucesión de mallas.

Sea N’_k el número mínimo de cajas (cuadradas) de lado 1/k que es necesario para recubrir F.

Definimos la dimensión por recuento de cajas como el límite (si existe)

Para fractales del mundo físico, carece de sentido el proceso de paso a límite.

Para calcular una estimación de D_B, construimos una tabla con dos columnas:

1era: lado de cada caja cuadrada;
2nda: número de cajas con el lado correspondiente que se necesitan para el recubrimiento o que contienen puntos de F.

A continuación, otra tabla de idénticas dimensiones a la primera con los datos log-log.

Finalmente, sobre una gráfica log-log, se disponen los puntos de coordenadas (logN_k, klog2)

De acuerdo con la disposición de los puntos, se ajusta una recta, cuya pendiente será una estimación de la dimensión box-counting.

Los subconjuntos de R² son susceptibles de ser mediante esta técnica. En este caso, suponemos representados los conjuntos mediante imágenes binarias. Para mayor comodidad, transformamos los datos en una matriz rectangular de ceros y unos, que será la información de partida.

Una vez que decidimos el tamaño (la longitud del lado) de la malla, identificamos cada cuadrado a través de las coordenadas, por ejemplo, del vértice inferior izquierdo. La selección del tamaño de malla inicial, se determina teniendo en cuenta el tamaño global del conjunto G. Se puede adoptar, por ejemplo, Ladomax=G/10.

Los refinamientos, se deducen automáticamente considerando cajas de lado Ladomax/2, Ladomax/4, hasta el límite deseado, que también es función de la resolución de la imagen.

Ilustraremos la técnica generando en primer lugar una aproximación de 2048 puntos del atractor de Hénon.

Atractor de Hénon con 200000 (izquierda) y 2048 (derecha) puntos. (henon.m)

Recuento y gráfica log-log (binaria.m y boxcounting.m)