Un proceso análogo al de recuento de cajas, lleva a una justificación de la ley de escala de Richardson.

Medimos la longitud de una curva con pasos de longitud e, resultando N(e). La longitud aproximada será N(e)xe. En curvas rectificables, cuando e®0+, el valor de N(e)xe se acerca a una constante a.

Es decir

Pero para líneas fractales (por ejemplo costas) establecemos

es decir,

Para determinar D, se construyen las tablas (e,N(e)) y (loge,log N(e)). Los puntos deducidos de esta segunda tabla se representan en una gráfica (loge,logN(e)). Finalmente se ajusta una recta a los datos y se determina su pendiente, que se identifica con el valor -D, siendo D la dimensión fractal.

medida.m

La fórmula de Richardson para la longitud es

Aunque el proceso de elaboración y el aspecto de la expresión final que define esta dimensión, son muy diferentes a los correspondientes a la dimensión box counting, se puede demostrar que ambas cantidades coinciden:

Dado FÌRⁿ, definimos el cuerpo d-paralelo de F (salchicha de Minkowski) como el conjunto de los puntos de Rⁿ que se encuentran a una distancia de F que es menor o igual que d:

siendo B_d(x) una bola de radio d y centro x.

Designamos con V_n(F_d) el volumen de F_d en el espacio n-dimensional Rⁿ. Por ejemplo, si n=3 y F es un segmento de longitud L,

con D_T dimensión (topológica) de F_d.

Podemos extender el concepto de V_n a conjuntos fractales admitiendo que

siendo s una dimensión de tipo fractal. En estas condiciones definimos la dimensión de Bouligand-Minkowski de F como

Para algunas estructuras, por ejemplo conjuntos de puntos distribuidos en el plano o en el espacio, la dimensión box-counting puede resultar poco práctica.

Consideremos, por ejemplo, un conjunto de puntos distribuidos en una región W de R² y un círculo de radio r y centro en cualquier punto P de W

Si los puntos estuviesen organizados sobre una recta que pasa por P, el número M(r) de los que resultan incluidos en el círculo de centro P y radio r, resultaría proporcional a r:

Si los puntos estuviesen distribuidos homogéneamente alrededor de P, M(r) sería proporcional al área del círculo, luego a r²:

En general, conjeturamos una ley de potencia

El algoritmo para determinar la dimensión de masa puede ser como sigue:

a.- Seleccionamos un pixel del conjunto como origen de una sucesión de n círculos de radios r₁<r₂<...<r_n, donde r_n es menor que el radio R del fractal, y se contabiliza el número m₁(r_i) de puntos incluidos en cada círculo i.

b.- Repetimos este procedimiento seleccionando otros píxeles como orígenes de los n círculos, y determinamos los correspondientes números de puntos m_j(r_i), j=1,2,...,m dentro de cada círculo.

c.- A continuación obtenemos el promedio

d.- Finalmente dibujamos m(r_i) frente a r_i en un diagrama log-log. La pendiente de la curva para valores grandes de r_i determina la dimensión fractal.

Es conveniente evitar efectos de contorno situando adecuadamente los centros de los círculos y tomando radios proporcionados.

Como ya hemos advertido, la dimensión fractal, con sus diferentes acepciones, no caracteriza a los conjuntos.

Inspirados en el método de Richardson para la deteminación de longitudes de“curvas” en el plano

siendo D_T la dimensión topológica.

En la última expresión, podemos entrar en la consideración del conjunto de parejas (e,D), para valores e=1,2,3,....y construir la gráfica con los resultados obtenidos. Obtenemos así una “huella fractal”, que puede servir para asociar determinadas características estructurales al conjunto sobre el que se realiza la experiencia.