Damos un primer paso en la evolución de la representación de las imágenes del mundo real, que podrán ahora describir grados de intensidad en la reflexión de la luz que reciben.

Una medida es una regla que permite distribuir una determinada cantidad de “algo” (una masa, por ejemplo) sobre un conjunto (un subconjunto de R², por ejemplo). Formalmente, una medida es una función de conjunto (aplicación de una familia de conjuntos en R), no negativa y con aditividad numerable.

Ejemplos conocidos son la medida de probabilidad y la medida de Lebesgue, que se define, en particular, sobre la s-álgebra de los conjuntos de Borel de Rⁿ, que contiene a los subconjuntos más importantes de Rⁿ.

Sea K un subconjunto compacto de Rn, b la s-álgebra de los subconjuntos de Borel de K y M el conjunto de las medidas normalizadas definidas sobre b.

Sobre M, se define la métrica de Hutchinson: "m,uÎM

Barnsley hizo la observación de que el modelo de una imagen con una función continua a trozos sobre un soporte rectangular, es incompleto para las imágenes del mundo real. En efecto, observando el cielo nocturno, vemos estrellas. Las estrellas mismas son el primer problema: son una fuente de luz.

Si, además, hacemos la observación con un telescopio, al aplicar una óptica de aumento, las estrellas no se ven más grandes, simplemente se ven más estrellas. Este hecho contrasta con el modelo de las funciones continuas a trozos, porque si realizamos un zoom sobre un punto de una de tales superficies, observamos una región alrededor del punto cada vez más plana.

Una solución a estos problemas de modelización, consiste en admitir que una imagen del mundo real es una distribución definida sobre una región rectangular. Este modelo no solo contiene una solución al problema de las estrellas, sino que se ajusta mejor a los conceptos teóricos de visión, y permite una representación mas efectiva de la transición de la imagen del mundo real a la imagen digital.

Para definir estos objetos necesitamos previamente establecer el espacio de las funciones de test. Revisaremos los conceptos en R, para mayor facilidad de exposición.

Consideremos el conjunto D de las funciones j: R®C tales que:

1) j decrece cuando x®¥ mas rápidamente que cualquier potencia de 1/x, es decir,

2) j es indefinidamente derivable.

El conjunto D es no vacío. Al menos podemos dar un ejemplo explícito de una función test:

Con el conjunto D asociamos la siguiente noción de convergencia. La sucesión {j_n} de elementos de D converge hacia jÎD cuando existe un intervalo fuera del cual se anulan todas las j_n y la sucesión de derivadas {D^(kj_n} converge uniformemente en dicho intervalo hacia D^(kj.

Gráfica de una función de test (ftest.m)

Estas condiciones son incompatibles con una función en el sentido habitual del término, puesto que una función nula fuera de x=0 debe tener integral (Lebesgue) nula.

Definimos la distribución delta de Dirac mediante la relación:

Una imagen es una distribución sobre soporte rectangular. Dado un rectángulo

D = [0, width]x[0, high] Ì R²

una imagen es un elemento del conjunto de las distribuciones definidas sobre D.