Sean {w_i, i=1,2,...,N} un conjunto de aplicaciones contractivas sobre (Rⁿ, d), con factores de contractividad respectivos c_i, i=1,2,...,N.

Definimos la aplicación de Hutchinson:

La aplicación de Hutchinson así definida es contractiva en (H(Rⁿ),h), con factor de contracción c=max{c₁, c₂,... , c_N}.

El sistema {w_i, i=1, 2,... , N} se denomina sistema de funciones iteradas, SFI en adelante.

Para cualesquiera B, C Î H(Rⁿ),

Sea {w_i, i=1, 2,... , N} un SFI con factores de contracción c_i, i=1, 2,... , N y W: H(Rⁿ) ® H(Rⁿ) la transformación de Hutchinson asociada.

Existe un único A Î H(Rⁿ) tal que W(A)=A y además A=lim_n®¥W_n(X), cualquiera que sea X Î H(Rⁿ). El conjunto A es el atractor del SFI.

En (R², d) consideremos, en particular, transformaciones afines

Para determinar los coeficientes a, b, c, d, e, f se definen, por ejemplo, las imágenes de tres puntos no alineados del objeto inicial, procediendo a resolver el sistema de 6 ecuaciones simultáneas que resulta.

El atractor de un SFI se puede estimar numéricamente, partiendo de cualquier subconjunto de R². Por ejemplo, un conjunto constituido por un solo elemento, que, si resulta posible, se seleccionará entre los puntos del atractor buscado o próximo a un elemento de dicho conjunto.

Sea {w_i, R^{2 _®} R², i=1, 2,... , N} con factor de contractividad c.

i.- Elegimos A₀ Ì R².

ii.- Calculamos A₁=W(A₀), A₂=W(A₁), de acuerdo con

Supongamos que el conjunto de partida para la iteración es un objeto geométrico elemental, como, por ejemplo, un punto, un segmento, un triángulo o un rectángulo A₀, y que el SFI tiene N transformaciones. Para un número N_I de iteraciones, se puede estimar el número de veces que el ordenador debe proceder al trazado de A₀ y sus imágenes sucesivas.

Para los datos apuntados, la computadora debe calcular (y, eventualmente, dibujar)

Para N=4, unas decenas de iteraciones pueden conducir a años de tiempo de proceso.

Teniendo en cuenta que un número relativamente bajo de iteraciones hace depender el efecto visual obtenido del objeto A₀, deducimos que el algoritmo que hemos descrito para construir órbitas numéricas de SFI, es poco práctico.

A medida que progresa el número de iteraciones, los detalles de A₀ van desapareciendo a la vista. Esto más patente si el atractor se dibuja sobre la pantalla de un ordenador. En este caso, parece que es ventajoso reducir A₀ a un punto, es decir a un pixel sobre la pantalla.

En todo caso, el número de iteraciones debe ser, forzosamente, muy limitado. Anunciaremos, no obstante, que existen varios algoritmos numéricos para la estimación del atractor de un SFI. Mas adelante, describiremos uno, debido a Barnsley y Demko.

Consideremos el triángulo T, para el que suponemos T=T₁ÈT₂ÈT₃, de forma que cada T_i es una imagen de T mediante una semejanza w_i contractiva de razón 1/2.

El conjunto T resulta así autosemejante:

El atractor de este SFI es un triángulos de Sierpinski.

Aproximación del triángulo de Sierpinski con 9 iteraciones (29524 puntos) (trisierp.m)

donde cada K_i es una copia reducida de K, obtenida mediante una transformación contractiva de razón 1/3.

El conjunto K se puede obtener partiendo del segmento unidad S y buscando cuatro transformaciones afines w₁, w₂, w₃, w₄ de razón de contractividad 1/3 de forma que

En el código precedente, partimos del origen como punto inicial, lo que, en general, como ya hemos señalado, es un procedimiento de gran economía. Pero, en ocasiones, puede ser necesario transformar un conjunto inicial. La generación de la curva de Von Koch desde el segmento [0,1] es un ejemplo de ello.

Aproximación de la curva de Von Koch con 4 iteraciones (256 segmentos de 128 puntos) (kochm.m)