Capítulo 3 - Síntesis de estructuras fractales deterministas

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El juego del caos

  
     
ALGORITMO DE ITERACIÓN ALEATORIA (BARNSLEY-DEMKO)

Consideremos un SFI {wi}, donde a cada transformación wi se le asigna un valor de probabilidad pi, siendoS pi=1.

  
 

i.- Elegimos x0Î Rn

ii.- Seleccionamos de manera recursiva e independientemente

  
 
 
 

donde la probabilidad de xk=wi(xk-1) es pi.

Construimos así una sucesión {x0, x1,... , xk,...}

Con probabilidad 1, este conjunto converge hacia el atractor A del SFI, en la métrica de Hausdorff, en el sentido siguiente:

Dado e>0, existe K=K(e) tal que

  
 
 
     
ELECCIÓN DE LOS VALORES DE pi

i.- Si se desea que la masa de puntos acumulada en cada conjunto wi(A) sea aproximadamente la misma, se elige pi=1/N.

ii.- En general, los valores de pi son proporcionales a la cantidad de puntos en cada wi(A). Para transformaciones afines,

  
 
 
   
 
Ejemplos del juego del caos
  
     
HELECHO DE BARNSLEY

Helecho de Barnsley

helechoR.m

a
b
c
d
e
f
p
0
0
0
0.16
0
0
0.01
0.85
0.04
-0.04
0.8
0
1.6
0.85
0.2
-.026
0.23
0.22
0
1.6
0.07
-0.15
0.28
0.26
0.24
0
0.44
0.07
 
     
DRAGÓN FRACTAL

Dragón fractal

dragonR.m

  
     
ÁRBOL SIN HOJAS

Árbol sin hojas

Rama sin hojas

a
b
c
d
e
f
p
0.19
-0.49
0.34
0.44
0.44
0.35
0.2
0.46
0.41
-0.25
0.36
0.25
0.57
0.2
-0.06
-0.07
0.45
-0.11
0.59
0.09
0.2
-0.03
0.07
-0.47
0.02
0.49
0.51
0.2
-0.64
0
0
0.50
0.86
0.25
0.2
 
   
 

Transformación con condensación

Una transformación TC: H(Rn) ® H(Rn) es de condensación si

  
 
 
 

para algún conjunto fijo C, que se denomina conjunto de condensación. Es evidente que una transformación de condensación es contractiva, con factor de contractividad 0.

Sea {wi, i=1, 2,..., N} un SFI con factor de contractividad c y w0 una transformación de condensación. Entonces, {wi, i=1, 2,..., N}
es un SFI con condensación y factor de contractividad c.

  
     
TEOREMA DE LAS APLICA-CIONES CONTRACTIVAS PARA SFI CON CONDEN-SACIÓN Sea {wi, i=1, 2,..., N} un SFI con condensación , factor c y conjunto de condensación C. La transformación de Hutchinson  
 
 
 

es contractiva en (H(Rn), h) con factor c.

¿Qué novedad aportan los SFI con condensación? Consideremos el SFI {w0, w1}, con C conjunto de condensación. Tomamos A0=C. Entonces

  
  Consideremos, por ejemplo, el sistema {w0, w1} con:
  
 
 
 

Condensación

condensa.m

Rosetones

  
     
 
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