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Modelos matemáticos para las imágenes del mundo real: modelo binario, medidas y distribuciones - Imágenes subjetivas - Métrica para imágenes - Imágenes digitales - Una definición de fractal diferente - Sistemas de funciones iteradas: ejemplos - El juego del caos: ejemplos - Transformación con condensación - Sistemas de funciones iteradas recurrentes - SFI para generar medidas - El problema inverso - Compresión con técnicas fractales - Sistemas de funciones iteradas particionados - Sistemas L: curvas fractales y ramificaciones - Autómatas celulares y autoorganización crítica
Motivación: objeto autoafín (izquierda) y no autoafín (derecha)
Una solución a este problema es considerar un SFI recurrente,
que consiste en un SFI {wi, i=1,2,...,N},
junto con una matriz (pij) de probabilidades, 1£i£N,
1£j£N,
tales que
la suma de cada una de sus filas es 1 y
para cada i, j existe un número finito de índices
k, l,… m, de forma que pik.
pkl…. pmj>0.
La primera condición expresa que el sistema es estocástico por filas: cualquiera que sea el estado del sistema, se dispone de un conjunto de probabilidades, cuya suma es 1, de forma que queda descrito el estado subsiguiente posible al que el sistema puede evolucionar en la etapa siguiente.
La segunda condición expresa que si el sistema se encuentra en estado i, entonces existe una probabilidad finita de alcanzar el estado j en un número finito de pasos, cualesquiera que sean los enteros i, j, pertenecientes al conjunto {1, 2,… , N}.
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pi3
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0
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0.5
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0
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0.5
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0.4
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0.5
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0
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0
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0.5
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128
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128
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0.4
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0.4
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0.2
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a
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b
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c
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d
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e
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f
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pi1
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pi2
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pi3
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0.5
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0
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0
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0.5
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0
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0
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0.3
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0.7
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0
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0.5
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0
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0
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0.5
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0
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128
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0
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0.6
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0.4
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0.5
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0
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128
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128
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0.5
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0.5
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a
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c
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f
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pi3
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pi4
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0.25
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0.25
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0.25
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0.25
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0
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0
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0.5
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128
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128
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0.3
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0.3
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0.2
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0.2
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0.5
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0
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0
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0.5
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0
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128
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0.1
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0.5
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0.4
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0
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0.5
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0
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0
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0.5
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0
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0
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0.3
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0.5
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0.1
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0.1
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Con el objeto de motivar este material, establecemos un modelo de imágenes con niveles de gris desde un SFI. Sea {w1 ,w2,..., wN} un SFI, con probabilidades asociadas {p1, p2,..., pN}, con el que asociamos una imagen con proporciones geométricas (alto)x(ancho) compatibles con la escala de su órbita.
Para cada pixel P determinamos la proporción relativa de visitas, cuando el número de iteraciones del juego del caos crece indefinidamente:
con la condición de que, si A es el atractor del SFI, m(A)=1.
Mediante la ilustración anterior, trasladamos nuestro interés al conjunto de medidas sobre ciertos subconjuntos del plano R2, los conjuntos de Borel, para las que hemos definido una distancia apropiada (la distancia de Hutchinson dH). Además, definiremos un operador contractivo M, construido con los datos del SFI, para el que la medida asociada resultará ser el (único) punto invariante.
Consideremos un SFI {w1 ,w2,..., wN} con probabilidades {p1, p2,..., pN}, definido sobre un rectángulo K de R2.
Sea m, por otra parte, una medida definida sobre los subconjuntos de Borel de K, tal que m(K)=1 ( Así, m es una medida normalizada de Borel sobre K). Si M es el conjunto de las medidas m, (M, dH) es un espacio de Hutchinson.
Sea M: M®M el operador de Markov asociado con un IFS con probabilidades, siendo cada transformación contractiva con factor 0£s£1. En estas condiciones, M es una aplicación contractiva con factor s, respecto de la métrica de Hutchinson dH, y existe una única medida mÎM tal que M(m)=m.
Sea m la única medida deducida, para un SFI dado con probabilidades, del teorema de Hutchinson. Entonces m se denomina medida invariante asociada a dicho SFI con probabilidades. Además, el soporte de m es el atractor del SFI.
para cualquier punto de partida x0.
