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Modelos matemáticos para las imágenes del mundo real: modelo binario, medidas y distribuciones - Imágenes subjetivas - Métrica para imágenes - Imágenes digitales - Una definición de fractal diferente - Sistemas de funciones iteradas: ejemplos - El juego del caos: ejemplos - Transformación con condensación - Sistemas de funciones iteradas recurrentes - SFI para generar medidas - El problema inverso - Compresión con técnicas fractales - Sistemas de funciones iteradas particionados - Sistemas L: curvas fractales y ramificaciones - Autómatas celulares y autoorganización crítica
Todo el material que hemos revisado hasta este momento ha estado dirigido a la construcción de (aproximaciones de) atractores de SFI, con el resultado de haber obtenido variaciones sobre algunos fractales clásicos y, adicionalmente, algunas gráficas semejantes a dibujos de objetos naturales: helechos, árboles, arbustos, etc.
El problema que nos planteamos ahora es inverso del anterior. Es decir: en vista de que mediante atractores de SFI es posible obtener imágenes de objetos que parecen naturales, dada una imagen de un objeto natural ¿es posible encontrar un SFI cuyo atractor sea la imagen dada, o resulte próximo de ella?
Este es el teorema central para el diseño de SFI cuyo atractor está próximo de un conjunto predeterminado.
Sea IÎH(Rn) y e³0. Seleccionamos un SFI {w1 ,w2,..., wN} con factor c de forma que
Es decir: ofrece la posibilidad de
comprimir imágenes haciendo uso de modelos fractales de las mismas.
Adicionalmente, proporciona una representación de la imagen considerada que es independiente de la resolución, puesto que, al calcular numéricamente el atractor, es posible realizar iteraciones sucesivas, añadiendo progresivamente más detalle.
Sea I la imagen de un arbusto compuesto de tronco, 6 ramas horizontales con tallos respectivos enfrentados y copa.
Descomponemos I en 8 partes, cada una de ellas una copia a tamaño reducido del arbusto completo, conseguida por medio de una transformación afín contractiva.
El SFI deducido del Teorema del Collage es el siguiente:
|
a
|
b
|
c
|
d
|
e
|
f
|
p
|
|
0
|
0
|
0
|
0.8
|
0.5
|
0
|
0.1
|
|
0
|
0.35
|
-0.35
|
0
|
0.5
|
0.425
|
0.17
|
|
0
|
-0.35
|
0.35
|
0
|
0.5
|
0.075
|
0.17
|
|
0
|
0.3
|
-0.3
|
0
|
0.5
|
0.7
|
0.13
|
|
0
|
-0.3
|
0.3
|
0
|
0.5
|
0.4
|
0.13
|
|
0
|
0.2
|
-0.2
|
0
|
0.5
|
0.85
|
0.1
|
|
0
|
-0.2
|
0.2
|
0
|
0.5
|
0.65
|
0.1
|
|
0.2
|
0
|
0
|
0.8
|
0.4
|
0.8
|
0.1
|
Dado el SFI {wi, i=1, 2,..., N}, supongamos que las wi dependen de forma continua de un parámetro l incluido en un intervalo abierto J de R.
Como veremos en el teorema siguiente, esta continuidad se traslada al atractor del SFI, en la métrica correspondiente.
Además, la posibilidad de interpolar entre atractores es útil en técnicas de animación de imágenes.
El argumento de Barnsley para justificar la compresión de imágenes vía SFI es como sigue: la imagen del helecho de Barnsley 256x256x1 ocupa 65536 bits. Por otra parte, si consideramos el SFI que lo genera, la cantidad de información necesaria es de 7x4x4= 112 bytes=896 bits.
La eficacia de un sistema de compresión se mide mediante la razón de compresión:
razón=núm. de bytes imagen sin comprimir/núm. de bytes imagen comprimida
En este caso se obtiene una razón de compresión de 65536/896=73.1429
Este valor es espectacular por si mismo, pero tal vez lo mas importante es que se trata de una compresión sin pérdida: podemos recuperar completamente la imagen original a partir de su versión comprimida. Aún mas: nada nos impide generar detalle adicional a partir del SFI, de forma que conseguimos super-resolución.
Sin embargo, las imágenes de escenas naturales suelen tener características que reducen el argumento anterior a una idea aparentemente primitiva.
En primer lugar, las escenas naturales no se obtienen, en general, como atractores de SFI. La construcción de modelos fractales con ayuda del teorema del collage puede ser una primera solución.
De hecho, Michael Barnsley y Alan Sloan, en un artículo publicado en “BYTE” en Enero de 1988 (“A Better Way to Compress Images”) hablaban de razones de compresión del orden de 10000:1. Por otra parte, las imágenes que ilustran la mencionada publicación han sido obtenidas todas ellas mediante SFI.
El mismo artículo, por otra parte, anuncia que en la primevera de 1987, la empresa Iterated Systems (fundada por Barnsley y otros) empieza la comercialización de productos para compresión de imágenes haciendo uso de SFI.
La imagen w1(I) está incluida en K. Dibujamos en la pantalla del ordenador los objetos I y w1(I) con colores diferentes y, a continuación, ajustamos los coeficientes de w1 para conseguir que w1(I)ÍI. Seguidamente, se considera una w2 inicial y se ajustan sus coeficientes hasta que se cumplan dos condiciones: w1(I)ÍI, w1(I)Çw1(I)=Æ.
Sucesivamente, determinamos w3(I)... wN(I), procurando que el valor de N sea lo menor posible. Se deduce así una
que resulta visualmente próxima de I.
Aplicando el Teorema del Collage, el atractor A de W, resultará también visualmente próximo de la imagen original I, y la imagen resulta codificada con los 6N coeficientes de las transformaciones afines. Naturalmente, este método “manual” solo tiene interés histórico y precursor.
