Las estructuras fractales de la naturaleza son el resultado de algún proceso de crecimiento.

Mediante SFI caracterizamos fractales iterando transformaciones y buscando el resultado final del proceso iterativo: el atractor.

En el transcurso de este tema, consideraremos también las etapas intermedias de producción de un fractal.

La figura que sigue, muestra las tres primeras etapas de iteración de un SFI (juego del caos), cuyo atractor será un arbusto. En general, dependiendo del número de etapas mostradas, aparecerán lagunas, de forma que resulta una ilustración de un modelo de crecimiento que presenta deficiencias.

La diapositiva siguiente muestra tres etapas de la órbita de un SFI sin probabilidad. Se observa que el tallo principal disminuye de tamaño en cada etapa, de acuerdo con la razón de contracción del sistema. Lo mismo sucede con las sucesivas ramas. De nuevo disponemos de un modelo deficiente de crecimiento.

Finalmente, a continuación se muestran tres etapas de un proceso de generación mediante sistemas “L”, que no presenta los inconvenientes referidos, de forma que resulta procedimiento mejor para describir modelos de crecimiento de un vegetal.

Los sistemas L que vamos a considerar a continuación han sido creados específicamente para describir los procesos naturales de crecimiento.

Asimismo, es posible introducir, en el mimo contexto, procesos de muerte o eliminación, capturando así mejor los modelos de evolución biológica.

La teoría de los Sistemas “L” data de 1968 y es debida a Aristid Lindenmayer. Fue originalmente introducida en el contexto de los lenguajes formales y utilizada en modelos biológicos del desarrollo de plantas: “Mathematical Models for Cellular Interactio in Development”, Parts I and II. Journal of Thoretical Biology, 1968.

Una publicación fundamental acerca de Sistemas “L” es un volumen titulado “Lindenmayer Systems, Fractals and Plants”, cuyos autores son Prusinkiewicz y Hanan. La editorial es Springer Verlag y data de 1989.

El concepto central de los sistemas L es el de re-escritura, que es una técnica para definir objetos complejos por reemplazamiento sucesivo de partes de un objeto inicial simple, haciendo uso de un conjunto de reglas de reescritura o producción.

Un sistema “L” está formalmente constituido por:

i.- un alfabeto,
ii.- un axioma,
iii.- unas reglas de producción y, eventualmente,
iv.- un conjunto de parámetros.

El alfabeto consiste en un conjunto de símbolos que sirven para componer cadenas; el axioma es la cadena que describe el sistema en su estado inicial; las reglas de producción son las transformaciones que serán aplicadas al axioma y, sucesivamente, a las cadenas resultantes.

Es importante subrayar que las reglas de producción se aplican simultáneamente a todos los símbolos de la cadena de entrada. Esta propiedad refleja el origen biológico de los sistemas “L”.

El modo de funcionamiento de un sistema “L” es el siguiente: se aplican las reglas de producción al axioma, resultando así una cadena de salida, a la que se aplican de nuevo las reglas de producción, y así sucesivamente.

Las reglas de producción generan cadenas formadas por los símbolos del alfabeto.

Establecemos una correspondencia entre el alfabeto del sistema “L” y movimientos de la pluma de un trazador gráfico (también del movimiento de una tortuga). Esta interpretación deberá ser independiente del mecanismo de generación de las cadenas.
Consideremos, por ejemplo, un sistema “L” dotado del alfabeto {F,f,+,-}

Asociamos con cada símbolo una instrucción gráfica del modo siguiente:

(F): avance de la pluma una longitud l, con trazado del segmento, desde la antigua posición a la nueva;

(f): avance, como el anterior, sin hacer descender la pluma al papel (no se dibuja el segmento);

(+): giro de la orientación de la pluma hacia la izquierda (sentido contrario al de las agujas de un reloj), un ángulo fijado d;

(-): giro hacia la derecha, en el sentido de las agujas de un reloj.

La longitud l y el ángulo d deben ser especificados antes de comenzar la interpretación. d tiene un impacto importante en la forma de los resultados gráficos y el valor de l influye en el tamaño final de la imagen.

Con notación geométrica (esto es útil para la programación) decimos que la pluma del trazador tiene un estado caracterizado por la posición (x,y) y la dirección de su desplazamiento, especificada por el ángulo d. Es decir, (x,y,d).

Es posible construir movimientos compuestos definiendo una secuencia de comandos F, f, +, - y asociándola con un nuevo símbolo.

Dada una cadena n, el estado inicial (x₀,y₀,d₀) y fijados los parámetros l y d, la interpretación de tortuga de n es un conjunto de líneas trazadas por la tortuga (o por la pluma del plotter) en respuesta a los estímulos de los caracteres de la cadena n.

Nótese que el símbolo F a izquierda y derecha en la primera regla representa el trazado de segmentos de longitud l diferente. Podemos suponer que F, a la derecha, es un movimiento l/3. La segunda y tercera reglas indican que los símbolos + y - no se alteran en el proceso de sustitución.

Inicio de la formación de la curva de Koch (kochl.m)

Isla de Von Koch (islakochl.m)

Para el sistema L de la curva que llena una espacio, hay varias posibilidades. Si la pluma arranca en línea recta,

La construcción comienza con una curva K₀ en forma de L. La etapa siguiente K₁, se obtiene juntando dos copias de K₀ giradas 45º y 135º, en sentido contrario a las agujas de un reloj. Tomando d=45º, podemos escribir K₀ como --F++F, asociándole un nuevo símbolo D. Para K₁ tenemos que trazar la segunda copia de K₀ en orden inverso: F--F+. Denominamos a esta cadena E.