El modelo de percolación fue introducido por Broadbent y Hammersley en 1957. La palabra ‘percolación’ está originada por el modelo de comportamiento de un fluido (agua) cuando atraviesa un medio poroso (café).

La percolación es el modelo más sencillo para un número considerable de fenómenos físicos, en los cuales el desorden está presente.

Consideremos una malla cuadrada. Cada nodo de la misma está ocupado (se colorea de negro) o no, de acuerdo con una probabilidad dada p.

Si p=0, no hay nodos ocupados, y el número de los que exhiben dicho estado, crece con el valor de p. Suponemos que los nodos ocupados corresponden a propiedades físicas diferentes a las de los nodos desocupados.

Por debajo de un valor crítico p<p_c, los nodos ocupados forman pequeños cluster, constridos con nodos vecinos ocupados. Para un valor crítico p=p_c, se forma una agregado grande que conecta dos lados opuestos de la malla. Si p aumenta, el espesor del agregado se hace mayor.

Cuando una estructura cambia desde una colección de muchas partes desconectadas a, básicamente, un gran conglomerado, decimos que tiene lugar un fenómeno de percolación. Simultáneamente, el tamaño medio de los agregados de de tamaño finito que no están conectados al cluster principal, decrece.

En el umbral de percolación p=p_c, el cluster resultante es un objeto fractal, cuya dimensión puede ser calculada experimentalmente y, en algunos casos, teóricamente.

El cluster o agregado que aparece en el umbral de percolación, se denomina cluster infinito de percolación, poque su tamaño diverge cuando las dimensiones de la malla se incrementan indefinidamente

Cuando un sistema como el que acabamos de describir alcanza el umbral de percolación, se produce una transición de fase geométrica, caracterizada por las propiedades geométricas del cluster infinito de percolación.

Los primeros estudios sobre percolación se efectuaron sobre mallas regulares. Excepto en el caso de determinados mallados bidimensionales, en los que, por simetría, el valor de p_c puede ser calculado exactamente, el umbral de percolación sólo puede ser determinado mediante simulaciones numéricas o por extrapolación.

El concepto de percolación que hemos descrito se refiere a puntos nodales sobre mallas. Sobre una malla análoga, se pueden considerar como protagonistas los enlaces entre nodos. En este caso, a cada enlace se le puede asociar, como antes, uno de dos estados: ocupado (con probabilidad p) o libre (con probabilidad 1-p).

Se tiene así un modelo de percolación de enlaces. Como en el caso anterior, existe un umbral de percolación para el que los enlaces se configuran constituyendo un aglomerado que conecta las paredes de la malla, el cluster infinito de percolación.

Percolación de enlaces con p=0.70 (enlacesp.m)

Comparando las dos tablas para los valores de p_c para percolación de nodos y para percolación de enlaces, respectivamente, observamos que en el segundo caso, los valores son inferiores a los del primer caso. Esto está justificado porque, por ejemplo, en una malla cuadrada, cada nodo tiene cuatro nodos vecinos y cada enlace tiene seis enlaces vecinos.

con b=5/36 para mallas planas.

expbeta.m

con g=43/18 para mallas planas.

Como ya hemos advertido, en el umbral de percolación p=p_c, el cluster (infinito de percolación) es un objeto fractal, y podemos estimar su comportamiento geométrico mediante la dimensión fractal. En este caso, parece conveniente hacer uso del concepto de dimensión de masa.

Sobre el cluster infinito de percolación, se toman círculos con distintos centros y, para cada uno de ellos, para radios diferentes r, se calcula la cantidad de nodos del cluster incluidos en los mismos. Se establece un modelo para la cantidad de nodos en función del radio r: