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Aleatorización de objetos fractales deterministas - Percolación: ejemplos, renormalización - El modelo de Eden - Agregación limitada por difusión (DLA) - Caracterización fractal de series temporales - Movimiento browniano: autosemejanza estadística, autoafinidad, dimensión box-counting, categorías, simulación - Densidad espectral de Fourier - Procesos 1/f - Dimensión fractal basada en la densidad espectral - Síntesis de fBm basada en la tranformada de Fourier - Extensión del fBm a dimensiones superiores - Método de los desplazamientos en 2d - Costas fractales a partir de paisajes fractales - Fourier filtering en d>1 - Mapas de color - Desplazamiento aleatorio del punto medio no-gaussiano - Series temporales en mercados financieros - Integración de paisajes - Análisis de texturas
Un ejemplo de sistema con malla de nodos consiste en suponer los nodos ocupados conductores, mientras que los nodos no ocupados son aislantes. Por debajo del umbral de percolación, el sistema es aislante. A partir del citado umbral, el sistema es un conductor.
Construimos un bosque aleatorio, donde los árboles son plantados siguiendo un patrón de filas y columnas sobre una malla cuadrada de lado L. Cada punto de la malla está ocupado por un árbol, de acuerdo con una probabilidad p dada.
La condición inicial consiste en incendiar la columna de árboles de la izquierda. Suponemos que un árbol ardiendo, propaga el fuego a sus vecinos más inmediatos, salvo que éstos estén ya quemados.
El algoritmo procede en etapas sucesivas correpondientes a intervalos de tiempo discretos.
El problema que se plantea consiste en
determinar el valor de p que conduce a una máxima duración
del fuego en el bosque.
En la figura que sigue se observa un máximo próximo a 0.6: es el umbral de percolación. El valor de pc ha sido calculado experimentalmente, mediante simulaciones, aceptándose pc=0.592846.
SEMEJANZA
Una de las características de los fractales es su autosemejanza, que puede ser estadística. Planteamos la cuestión de si existe algo semejante para interpretar el fractal del clúster infinito de percolación. La idea es que una copia reducida del clúster tiene la mismo comportamiento que el original desde el punto de vista estadístico.
ZACIÓN EN UNA MALLA TRIANGULAR
Reemplazamos los nudos de la malla por los denominados super-nudos. En una malla triangular, es natural juntar tres nudos para definir un super-nudo. El super-nudo hereda información de sus tres predecesores, determinando si está ocupado o no, de acuerdo con la regla de la mayoría.
Los super-nudos constituyen, a su vez, una nueva malla, que puede ser reducida de tamaño para ser comparada con la original.
La concentración de nudos ocupados en la nueva malla p’ no será generalmente la misma que en la antigua. Si p es baja, p’<p y si p es alta p’>p con la renormallización.
Solo en el umbral de percolación puede esperarse semejanza p’=p. Teniendo en cuenta la regla de la mayoría,
La configuración no trivial corresponde a p=0.5 y se interpreta como que el bosque tiene una estructura que, después de la renormalización, es la misma estadísticamente.
Esta es la autosemejanza estadística esperada en el umbral de percolación.
Estudiemos el efecto de repetidas renormalizaciones. Así, consideramos la iteración
Comenzando con un valor p0<0.5, la iteración converge a 0, mientras que con un valor p0>0.5, la iteración converge a 1. Solo en el umbral de percolación pc=0.5 obtenemos un punto fijo.
ZACIÓN
Una aplicación de la renormalización consiste en determinar si una malla dada está por encima o por debajo del umbral de percolación. Efectuamos el proceso de renormalización repetidamente. Si la malla converge hacia una configuración vacía, el parámetro p de la malla está por debajo de la percolación; y si converge hacia una ocupación generalizada de nudos, está por encima del umbral de percolación.
