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Aleatorización de objetos fractales deterministas - Percolación: ejemplos, renormalización - El modelo de Eden - Agregación limitada por difusión (DLA) - Caracterización fractal de series temporales - Movimiento browniano: autosemejanza estadística, autoafinidad, dimensión box-counting, categorías, simulación - Densidad espectral de Fourier - Procesos 1/f - Dimensión fractal basada en la densidad espectral - Síntesis de fBm basada en la tranformada de Fourier - Extensión del fBm a dimensiones superiores - Método de los desplazamientos en 2d - Costas fractales a partir de paisajes fractales - Fourier filtering en d>1 - Mapas de color - Desplazamiento aleatorio del punto medio no-gaussiano - Series temporales en mercados financieros - Integración de paisajes - Análisis de texturas
Presentamos ahora un modelo de crecimiento, desarrollado por Witten y Sanders en 1981, que conduce a estructuras que exhiben autesemejanza estadística, constituidas por aglomerados de partículas, arborescentes y altamente ramificados. El modelo se denomina agregación limitada por difusión (DLA).
El modelo matemático para el depósito electroquímico de hojas de Zn metal está basado en el movimiento browniano. Los iones de Zn vagan a través de la solución hasta que son capturados por la fuerza atractiva del cátodo de carbono. La agregación de un ion de Zn es mas verosímil donde la densidad de lineas de campo es mayor.
Para simular la agregación limitada por difusión, fijamos una única partícula “pegajosa”, por ejemplo en el origen, suponiéndola inmóvil. A continuación, seleccionamos la región de interés, centrada en la partícula inicial, por ejemplo un área circular con radio 100 a 500 diámetros de partículas.
Inyectamos una partícula libre en el contorno de la región y permitimos que se mueva aleatoriamente.
En el curso de este movimiento pueden suceder dos cosas:
i.- La partícula abandona la región de interés, en cuyo caso la olvidamos e inyectamos otra en una posición aleatoria del borde de la región;
ii.- La partícula permanece en la región hasta que se une a la partícula “pegajosa”. En este caso se convierte (con cierta probabilidad) en partícula “pegajosa”. El procedimiento se repite.
La computación práctica se realiza considerando una malla de píxeles, pudiendo la partícula libre moverse hacia uno de los píxeles ya consolidados como parte del agregado, en cada etapa.
En el modelo descrito por H. Eugene Stanley, se fija la primera partícula (germen del cluster). Desde un punto al azar de la circunferencia exterior se libera un elemento que realiza un paseo aleatorio. Para quedar unido a la partícula germinal, su trayectoria debe pasar por una de las cuatro posiciones que se indican en la figura. Cada una de estas cuatro posiciones tiene una probabilidad ¼ de ser ella la favorecida.
Si la partícula se une como muestra la gráfica, queda un agragado de dos partículas. Así, en la etapa 2, disponemos de 6 posiciones de eventual recepción de la nueva partícula inyectada, pero ahora con diferentes probabilidades asociadas. Según frase de Stanley, “los ricos cada vez mas ricos”, de manera que se configuran en la estructura cabos y bahías.
El mecanismo para implantar las hipótesis de la simulación del DLA, puede formularse de varias formas. Meakin, sitúa la circunferencia desde donde se inician los paseos aleatorios a 5 diámetros de partícula del círculo que recubre el agregado, y para el radio de la circunferencia de escape, asigna un valor tres veces al correspondiente al citado círculo.
Una alternativa es sustituir el movimiento de las parículas por una simulación del movimiento browniano:
Agregados de 2000, 4000, 6000 y 8000 partículas (de izquierda a derecha y de arriba a abajo) con movimiento browniano (dlabrown.m)
En vez de comenzar con una partícula única, es posible hacerlo con un vector fila de partículas iniciales.
CIÓN DEL BORDE
Hemos comenzado la descripción de los modelos DLA con una ilustración relacionada con depósito electroquímico. Existen muchos otros ejemplos en la Física y en la Biología que responden a modelos de crecimiento análogos: solidificación dendrítica, colonias de bacterias, la vascularización de la retina, etc.
La DLA es asimismo compatible con la producción de relámpagos, cristalización de lava, fenómenos de digitación viscosa, como la invasión de agua en medio petrolífero para el vaciado de pozos o crecimiento de espacios urbanos. Hasta 50 situaciones contabiliza H.E. Stanley, donde los fenómenos están bien descritos mediante sistemas DLA.
Las condiciones de contorno para el problema son las siguientes: P(x,y,t)=1 sobre el contorno que describe la fuente de paseantes aleatorios (una circunferencia de centro en la partícula inicial) y P(x,y,t)=0 en los puntos que delimitan agregado, pertenecientes al mismo.
Aunque no existe ninguna estimación teórica. Witten y Sanders fijaron la dimensión fractal de un agregado en la cantidad 1.70±0.02 en el caso bidimensional. Estas cifras han sido confirmadas por experimentos numéricos posteriores. Para modelos tridimensionales, una estimación equivalente es 2.4/2.5.
i.- La dimensión por recuento de cajas de situaciones experimentales normalizadas, proporcionan el valor 1.70 de Witten y Sanders, pero no existen estimaciones teóricas.
ii.- Uno de los ejemplos mencionados en Biología, se refiere a la vascularización de la retina. La pregunta obvia es por qué razón el sistema evolutivo seleccionó este modelo.
iii.- Modelo que, por otra parte, tiene relación con el correspondiente a la evolución del Metro de París.
iv.- Es posible conjeturar, como primera idea, que las estructuras fractales ofrecen el mayor grado de conectividad con el mínimo de volumen.
v.- ¿Es posible hacer uso de las respuestas a muchas de estas cuestiones para abordar cuestiones de diseño de una siguiente generación de ordenadores? En otras palabras, ¿pueden mejorar las estructuras fractales los medios de proceso y transmisión de la información?
