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Aleatorización de objetos fractales deterministas - Percolación: ejemplos, renormalización - El modelo de Eden - Agregación limitada por difusión (DLA) - Caracterización fractal de series temporales - Movimiento browniano: autosemejanza estadística, autoafinidad, dimensión box-counting, categorías, simulación - Densidad espectral de Fourier - Procesos 1/f - Dimensión fractal basada en la densidad espectral - Síntesis de fBm basada en la tranformada de Fourier - Extensión del fBm a dimensiones superiores - Método de los desplazamientos en 2d - Costas fractales a partir de paisajes fractales - Fourier filtering en d>1 - Mapas de color - Desplazamiento aleatorio del punto medio no-gaussiano - Series temporales en mercados financieros - Integración de paisajes - Análisis de texturas
Consideramos funciones de la forma
donde t puede interpretarse como la variable tiempo.
El grafo de esta función es un subconjunto de R2 de la forma
que es una serie temporal.
En ocasiones, los conjuntos F tienen estructura fractal y esta circunstancia se puede poner de manifiesto, eventualmente, por comportamientos en ley de potencia y a través de una dimensión fractal.
Señales en Medicina: electrocardiogramas, electroencéfalogramas;
señales en finanzas; ruidos 1/f en la Naturaleza; movimientos
brownianos; perfiles orográficos, paisajes y formación de
nubes; Música; tráfico en redes de internet; estudio de
cargas en almacenamiento masivo en sistemas de información; ruidos
galácticos
texturas en imágenes de satélite; etc.
Las definiciones generales tratadas anteriormente, son aplicables a esta situación, en particular la dimensión por recuento de cajas.
Por otra parte, en algunos casos interesa saber si los grafos son consistentes con modelos matemáticos que describiremos mas adelante, como el movimiento browniano y sus generalizaciones.
Para la estimación de la dimensión fractal, manejaremos métodos nuevos, mejor adaptados a esta situación.
Además, el posible carácter fractal de estos conjuntos, tiene su expresión en forma de dos conceptos: la autosemejanza estadística y la autoafinidad.
Un modelo matemático general para las series temporales, se puede establecer a través de las funciones aleatorias.
Una función aleatoria real es un conjunto de variables aleatorias {X(t,w)} donde tÎR y wÎW, espacio de sucesos, con espacio de probabilidad asociado (W,F,P).
Para cada valor fijado de t=t0, tenemos una variable aleatoria X(t0,w) y para cada suceso fijado w=w0, tenemos lo que se denomina una realización de la función aleatoria, una función real
que puede considerarse así un modelo de una serie temporal.
Si se sobreentiende en el contexto correspondiente, se suele omitir la variable suceso w, escribiendo simplemente X(t).
Un proceso aleatorio X(t) es estacionario si los procesos X(t) y X(t+h) son estadísticamente indistinguibles para h real cualquiera.
También se maneja un concepto de carácter estacionario en sentido amplio, que hace referencia a un concepto análogo al estricto, pero referido a los dos primeros momentos.
Sea X(t) un proceso aleatorio estacionario con media cero. La función de covarianza se define como
que, en el caso estacionario, sólo debe depender de la diferencia t-s.
En particular, un proceso aleatorio gaussiano que sea estacionario en sentido amplio, es también estacionario en sentido estricto.
