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Aleatorización de objetos fractales deterministas - Percolación: ejemplos, renormalización - El modelo de Eden - Agregación limitada por difusión (DLA) - Caracterización fractal de series temporales - Movimiento browniano: autosemejanza estadística, autoafinidad, dimensión box-counting, categorías, simulación - Densidad espectral de Fourier - Procesos 1/f - Dimensión fractal basada en la densidad espectral - Síntesis de fBm basada en la tranformada de Fourier - Extensión del fBm a dimensiones superiores - Método de los desplazamientos en 2d - Costas fractales a partir de paisajes fractales - Fourier filtering en d>1 - Mapas de color - Desplazamiento aleatorio del punto medio no-gaussiano - Series temporales en mercados financieros - Integración de paisajes - Análisis de texturas
Volvemos al modelo matemático del movimiento browniano (Brown, Bachelier, Einstein, Perrin, Wiener y Lévy). Establecemos un modelo plano del movimiento de partículas entre colisiones mediante dos hipótesis: describiendo el movimiento de una partícula entre dos puntos en coordenadas polares r,q, el radio del desplazamiento es una v.a. con distribución normal y el ángulo una v.a. con distribución uniforme entre 0 y 2p.
10000 desplazamientos
La descripción podemos hacerla trazando las trayectorias o relacionando las coordenadas de cada punto con el tiempo t, de manera que, para un movimiento plano, obtendríamos una superficie. Y para un movimiento de las partículas sobre R, tendríamos una curva (t,f(t)), es decir, una serie temporal.
Consideremos un modelo del movimiento de una partícula sobre una recta con las siguientes condiciones:
i.- La partícula parte del origen t=0;
ii.- En cada paso discreto de tiempo h, la partícula se desplaza aleatoriamente una longitud L o -L, con probabilidad 0.5 en cada caso.
Representamos con X(t) la función aleatoria asociada que mide la posición de la partícula en cada instante:
Cada Xi es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:
independientemente de las etapas previas.
Así, X(t) es la suma de una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas:
Si normalizamos tomando L=h1/2, queda
siendo ahora las variables Xi tales que Xi=1 o Xi=-1, en cada caso con p=1/2.
Teniendo en cuenta el Teorema del Límite Central, para valores pequeños de h, X(t) es aproximadamente normal con media 0 y varianza t:
lo que se demuestra por inducción.
Es importante observar que la varianza resulta proporcional a t, tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento.
En particular, X(t+h)-X(t) para t y h fijos y n suficientemente grande, es aproximadamente normal (0,h) y los incrementos X(t)-X(t1) y X(t2)-X(t) son variables aleatorias independientes.
El movimiento browniano se define como el proceso aleatorio límite que se encuentra cuando n crece indefinidamente.
Simulación de un movimiento browniano (mb1d.m)
En forma axiomática, diremos que una función aleatoria B(t) es un movimento browniano si
(1).- B(0)=0 (con probabilidad 1);
(2).- Los incrementos DB=B(t+h)-B(t) son gaussianos, con media nula y varianza h (proporcional al tiempo transcurrido).
Se observa que B(t) resulta así N(0,t) para cada valor de t y que los incrementos B(t+h)-B(t) son estacionarios.
El axioma (2) se puede modificar sustituyendo
Más generalmente, diremos que BH(t) es un movimiento browniano generalizado con exponente de Hurst H (0<H<1) si en (2) sustituimos la condición de la varianza por
siendo -½<r<1 el coeficiente de correlación. Así, los incrementos BH(t+h)-BH(t) no son independientes, salvo en el caso H=½, pero continúan siendo estacionarios.
El movimiento browniano generalizado, o movimiento browniano fraccional, se designa con el acrónimo fBm. Puesto que es un proceso gaussiano, la estacionariedad de los momentos de orden 2 es suficiente para garantizar el carácter estacionario en sentido estricto.
La función de correlación del fBm tiene la siguiente expresión:
