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Aleatorización de objetos fractales deterministas - Percolación: ejemplos, renormalización - El modelo de Eden - Agregación limitada por difusión (DLA) - Caracterización fractal de series temporales - Movimiento browniano: autosemejanza estadística, autoafinidad, dimensión box-counting, categorías, simulación - Densidad espectral de Fourier - Procesos 1/f - Dimensión fractal basada en la densidad espectral - Síntesis de fBm basada en la tranformada de Fourier - Extensión del fBm a dimensiones superiores - Método de los desplazamientos en 2d - Costas fractales a partir de paisajes fractales - Fourier filtering en d>1 - Mapas de color - Desplazamiento aleatorio del punto medio no-gaussiano - Series temporales en mercados financieros - Integración de paisajes - Análisis de texturas
Sea X(t) un proceso aleatorio estacionario, con función de covarianza Cx(t). La densidad espectral o espectro de potencia de Fourier se define como
con -¥<f<¥.
La autosemejanza estadística de los procesos aleatorios se extiende a su correspondiente densidad espectral, que puede incluso tomarse como criterio original de autosemejanza, cuando dicha densidad verifica una ley potencial de la forma
La no integrabilidad de esta expresión plantea dificultades técnicas de interpretación del segundo miembro como un espectro de potencia. Desde 1968, han sido dedicados numerosos esfuerzos de investigación a generalizar el concepto de espectro de potencia para dar un sentido a la definición de procesos 1/f que acabamos de hacer.
Patrick Flandrin aportó una solución al problema de la interpretación de la densidad espectral de un proceso 1/f.
En la práctica disponemos de muestras de las señales, de las que, una vez determinadas, se deducen dos límites en el dominio de frecuencias:
a) Para bajas frecuencias, finf, es una función del tamaño de la muestra, reflejo de la evolución temporal de la misma;
b) Para altas frecuencias fsup, es una función de la resolución de los puntos muestrales.
el resultado es Y(t), estacionario en sentido amplio y con varianza finita.
Sea ahora X(t) un proceso 1/f en el sentido de la diapositiva anterior. Procesamos X(t) mediante el filtro
siendo b=2H+1.
El fBm corresponde, en particular, a la gama de valores 0<H<1. El valor de b=1+2H corresponde a los procesos brownianos generalizados, pero hay otros ruidos de interés:
Para b=0, se tiene un proceso denominado ruido blanco.
Para b=1, el ruido rosa.
Para b=2, el movimiento browniano puro.
Para b>2, el ruido negro.
En el ruido blanco, como en la luz blanca, todas las frecuencias tienen una representación equivalente. Cada valor del proceso es una sorpresa, independiente de su valor pasado.
El ruido rosa, por otra parte, parece ser ubicuo en el naturaleza. Su estructura permite la alternancia de sorpresas (pero no demasiadas) con situaciones de predecibilidad (tampoco excesivas). El ruido rosa, por tanto, está presente, por ejemplo, en la música clásica e incluso en alguna música moderna. Posee además la propiedad notable de exhibir la misma potencia en octavas sucesivas.
El ruido negro se asocia en análisis financiero con desastres, como tendencia bajista de los mercados.
