Capítulo 4 - Síntesis de estructuras fractales aleatorias


	$Capítulo 4 - Síntesis de estructuras fractales aleatorias$ [01 - 02 - 03 - 04 - 05 - 06 - 07 - 08 - 09 - 10 - 11 - 12 - 13] Aleatorización de objetos fractales deterministas - Percolación: ejemplos, renormalización - El modelo de Eden - Agregación limitada por difusión (DLA) - Caracterización fractal de series temporales - Movimiento browniano: autosemejanza estadística, autoafinidad, dimensión box-counting, categorías, simulación - Densidad espectral de Fourier - Procesos 1/f - Dimensión fractal basada en la densidad espectral - Síntesis de fBm basada en la tranformada de Fourier - Extensión del fBm a dimensiones superiores - Método de los desplazamientos en 2d - Costas fractales a partir de paisajes fractales - Fourier filtering en d>1 - Mapas de color - Desplazamiento aleatorio del punto medio no-gaussiano - Series temporales en mercados financieros - Integración de paisajes - Análisis de texturas

	$Dimensión fractal basada en la densidad espectral$ Supongamos que la caracterización de un proceso se hace a través de su densidad espectral, que sigue una ley de potencia

	Teniendo en cuenta las relaciones de Wiener-Kintchine,

	Para un movimiento browniano b=2H+1, y teniendo en cuenta que la dimensión de capacidad es (en R) D_B=2-H, se tiene la relación

	Consideremos una señal aleatoria 1D. Partiendo de una muestra de una realización de la misma, podemos estimar el espectro de potencia, haciendo uso de la transformada de Fourier discreta y del periodograma. Seguidamente, se hace la hipótesis de comportamiento en ley de potencia del espectro de potencia, lo que permitirá, finalmente, estimar el exponente b. También se puede realizar el cáculo via función de autocorrelación C_x(t).

EJEMPLOS	Producimos una muestra de un fBm con H=0.7. De acuerdo con las previsiones teóricas deberíamos obtener un parámetro -b=-1-2H=-2.4 Producimos ahora una muestra de un fBm con H=0.3, pero haciendo uso ahora del Fourier filtering. Deberíamos obtener un parámetro -b=-1-2H=-1.6 De esta forma, partiendo de estimaciones de la densidad espectral, una descripción log-log de la misma frente al vector de frecuencias, de donde se deduce la estimación de b que conduce a la correspondiente a D o al exponente H.



PUENTE BROWNIANO	Consideremos un movimiento browniano X(t), definido entre 0 y 2p. Siempre es posible realizar una descomposición en suma de dos procesos independientes:

	X*(t) es una recta con pendiente gaussiana y P(t) es un puente browniano, que es un movimiento browniano con la propiedad P(0)=P(2p).

SERIE DE FOURIER DEL fBm	Considerando una función periódica X(t) definida para t entre 0 y 2p, tal que X(0)=X(2p) y que coincida con P(t) sobre el intervalo (0,2p], podemos escribir

	donde los coeficientes c_n son variables aleatorias independientes y gaussianas. En particular, se demuestra que las variables aleatorias cn cumplen: (a) Las variables \|c_n\| son independientes y normales, con media 0 y varianza

	(b) Las variables arg(c_n) son independientes, con distribución uniforme en (0,2p). Para un movimiento browniano generalizado de exponente de Hurst H, la varianza es

	de forma que los espectros de potencias satisfacen una ley potencial de exponente -(1+2H)

SÍNTESIS DE fBm	1.- Seleccionamos el valor del exponente H, que debe ser tal que 0<H<1. 2.- Fijamos el número de términos N (coeficientes de Fourier) que van a ser utilizados en la simulación. Nótese que N es la mas alta frecuencia implicada. 3.- Seleccionamos N fases aleatorias independientes en f₁, ..., f_N uniformemente en [0,2p]. 4.- Seleccionamos amplitudes \|c_n\| a partir de muestras normales con media 0 y varianza proporcional a n^-1-2H. 5.- Establecemos el espectro {\|c_n\|exp(if_n)}. 6.- Aplicamos la transformada inversa de Fourier (ifft) para obtener un proceso fractal complejo. 7.- Tomamos la parte real del proceso anterior. fBm con H=0.5 (fbmff1d.m) fBm con H=0.95 (fbmff1d.m)