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Aleatorización de objetos fractales deterministas - Percolación: ejemplos, renormalización - El modelo de Eden - Agregación limitada por difusión (DLA) - Caracterización fractal de series temporales - Movimiento browniano: autosemejanza estadística, autoafinidad, dimensión box-counting, categorías, simulación - Densidad espectral de Fourier - Procesos 1/f - Dimensión fractal basada en la densidad espectral - Síntesis de fBm basada en la tranformada de Fourier - Extensión del fBm a dimensiones superiores - Método de los desplazamientos en 2d - Costas fractales a partir de paisajes fractales - Fourier filtering en d>1 - Mapas de color - Desplazamiento aleatorio del punto medio no-gaussiano - Series temporales en mercados financieros - Integración de paisajes - Análisis de texturas
El movimiento browniano generalizado es, en este caso, un proceso multidimensional X(t1, t2, ..., tn) con las propiedades siguientes:
1.- Los incrementos X(t1, t2, ..., tn)-X(s1, s2, ..., sn) son gaussianos con media 0;
2.- La varianza de los incrementos X(t1, t2, ..., tn)-X(s1, s2, ..., sn) depende solo de la distancia
De hecho, la varianza es proporcional a la potencia 2H de la distancia:
Los métodos de desplazamiento del punto medio pueden trabajar con mallas cuadradas de puntos. Si el tamaño de malla d identifica la resolución de la misma, obtenemos otra malla cuadrada de resolución d/21/2 añadiendo los puntos medios de todos los cuadrados. Por supuesto, la orientación de los nuevos cuadrados está girada 45º respecto de la primitiva.
Añadiendo de nuevo los puntos medios de todos los cuadrados, tenemos una nueva malla con la misma orientación que la primera, con una resolución de d/2.
En cada etapa la resolución escala con un factor de
De acuerdo con el axioma (2), añadimos un desplazamiento aleatorio haciendo uso de una varianza que es r2H veces la varianza de la etapa previa.
Si suponemos que los cuatro primeros puntos de la malla tienen asociado un incremento cuadrático medio de s2, entonces en la etapa n del proceso debemos añadir muestras aleatorias gaussianas de varianza
En el método básico, las muestras se añaden a los puntos medios nuevos en cada etapa, mientras que en el método de adición aleatoria las muestras de añaden a todos los puntos.
fBm construido con H=0.9, 8 niveles y z>0 (fbm2.m)
fBm construido con H=0.5, 8 niveles y z>0 (fbm2.m)
Si comenzamos con una malla que aproxima la costa de una isla, la aproximación podría hacerse ajustando un polígono con unos cuantos vértices.
Cada lado del polígono se subdivide desplazando el punto central perpendicularmente al lado correspondiente. La cuantía del desplazamiento estaría determinada por un número aleatorio gaussiano multiplicado por un factor de escala.
Así, en cada etapa, el número de lados del polígono se duplica.
Podemos repetir el proceso con el nuevo polígono, usando el factor de escala 1/2H.
1.- La curva límite puede tener autointersecciones;
2.- No son posibles las islas;
3.- Las propiedades estadísticas del algoritmo no especifican fractales aleatorios matemáticamente “puros”.
Las dos primeras limitaciones pueden ser evitadas. Se puede construir un paisaje fractal completo, calculado, por ejemplo, usando una malla cuadrada. A continuación se elige un valor de altura intermedio como “nivel del mar”, extrayendo seguidamente la correspondiente costa.
En el caso n=2, para un movimiento browniano generalizado, se expresa, en función de los coeficientes de Fourier como
De forma análoga al caso de dimensión 1, suponemos que los coeficientes |a(k1,k2)| son variables aleatorias normales con media 0.
Por su parte, la varianza, tiene un comportamiento en ley de potencia:
de manera que el módulo de los coeficientes de Fourier del fBm, se puede simular mediante un vector gaussiano, al que es necesario añadir la fase, que se simula, como en el caso de dimensión 1, mediante una ley uniforme.
Para contribuir a la creación de texturas, Kaplan y Kuo han propuesto modelos SX(t) con autosemejana extendida, para el que SX(0)=0 y donde la varianza de SX(t+h)-SX(t) tiene la forma s2f(h), donde f(1)=1. La función f, que no puede ser arbitraria, se denomina función de estructura.
La función de correlación de un ESS tiene la siguiente expresión:
Aunque el mapa de color es una propiedad de una figura y no de cada objeto particular de la misma, es posible asignar diferentes secciones del mapa a cada objeto, de forma que el resultado es el mismo que el que corresponde a la asociación mapa-objeto. Naturalmente, con caracter previo, es necesario construir el mapa único, con sus secciones convenientemente diversificadas.
Paisaje con 256x256 puntos y H=0.65 y dos mapas de color (mapascolor.m)
Para producir imágenes que parecen nubes, se puede hacer uso de los mecanismos de simulación de movimiento browniano, adoptando un mapa de colores conveniente, una combinación de azul y blanco, con eventual inclusión de tonos de gris.
La distribución gaussiana es simétrica y, por lo tanto, la superficie fractal correspondiente puede ser reflejada de abajo a arriba sin cambios en la estructura estadística.
Pero los valles reales y las crestas montañosas no son objetos simétricos. Voss ha introducido transformaciones no lineales después de la interpolación.
Una alternativa es hacer uso de una distribución binomial asimétrica de parámetro p:
Valores p<1/2 dan lugar a valles planos y montañas afiladas y valores p>1/2, a montañas planas y valles profundos.
Paisaje con p=0.25 (fbm2ng.m)
Paisaje con p=0.8 (fbm2ng.m)
