En 1900 Louis Bachelier (1870-1946) finalizó su tesis doctoral titulada “Théorie de la spéculation”, donde estableció el primer modelo y las primeras aplicaciones para el movimiento browniano en el contexto de las fluctuaciones de precios en los mercados financieros.

Para representar procesos con dependencia a largo plazo (LRD), con aplicación en series temporales de contenido financiero, los modelos basados en fBm no resuelven todos los problemas del modelo, debido, en particular, a que se trata de modelos gaussianos.

En 1963 B. Mandelbrot publicó “The variation of certain speculatice prices”, The Journal of Bussines, 36, donde retomando el trabajo de Bachelier, señalaba, por ejemplo, que los cambios de precio de magnitud elevada, ocurren mucho mas frecuentemente que los que predice una ley gaussiana.

Los procesos estables, de los que nos vamos a ocupar seguidamente, se han propuesto para la descripción de porcentajes en cambios de precios en mercados financieros. Estos modelos, resuelven, en particular, el problema apuntado de los procesos gaussianos aunque, como veremo mas adelante, presentan otras carencias.

Consideremos dos variables aleatorias X₁, X₂, con distribuciones N(m₁,s₁) y N(m₂,s₂), respectivamente. Es bien conocido que la variable aleatoria X₁+X₂, tiene distribución N(m₁+m₂, (s₁)²+(s₂)²). Esta propiedad que consiste en la invariancia dentro de una clase de distribuciones, frente al operador suma, se denomina estabilidad.

Adoptando otro enfoque, dadas dos variables aleatorias X₁, X₂, la ecuación funcional s₁X₁+s₂X₂=sX, junto con la relación subsidiaria (s₁)^a+(s₂)^a=s^a, admite la gaussiana como solución para a=2, pero admite también otras soluciones, todas las distribuciones estables en el sentido de Lévy.

Una distribución es estable y simétrica de clase a, si su función característica se puede escribir en la forma

donde 0<a£2, c³0 y m es la media. Si a=1, se tiene la distribución de Cauchy. Si a=2, se tiene la normal. Si a<<2, los momentos de orden >a no existen.

Más generalmente, un parámetro adicional, b, -1£b£1, permite prescindir de la simetría:

Como consecuencia de lo dicho anteriormente, una densidad de probabilidad se denomina estable, si es invariante bajo una operación de convolución consigo misma. La transformada de Fourier de un producto de convolución de dos N(0,1) es una N(1/sqrt(2),0), de forma que recuperamos la estabilidad de Lévy de la distribución normal.

En general, una distribución Lévy a-Estable, se caracteriza por X_a(s,b,m), donde 0<a£2, s es un parámetro de escala, b un parámetro que controla la simetría (–1£b£1, b=0, distribución simétrica, b=1 o –1, fuerte asimetría) y m el valor medio. Como ya hemos apuntado, el valor a=2 se da para las gaussianas.

Como ya hemos indicado, si a<2, los momentos de orden >a no existen. En particular los momentos de orden dos divergen. Para el fBm, el momento de orden uno determina la escala de tiempo, y el de orden dos la escala física de la distribución de las longitudes de los saltos. La divergencia del momento de orden dos en ciertas distribuciones de Lévy, no es una contradicción para nosotros: esta ausencia de escala conduce a comportamientos independientes de la escala, fractales.

Para valores grandes de x, la función de distribución de una variable aleatoria estable, satisface la relación de escala

Para ciertos modelos de dinámica de precios en mercados financieros, sin embargo, este comportamiento en ‘cola gruesa, fat tail’ no se compadece con los resultados empíricos, que presentan varianza finita. Así, Mantegna y Stanley propusieron un modelo, el vuelo de Lévy truncado, que reúne comportamientos mas acordes con aquellos.

El TLF se define como un proceso estocástico X(t) caracterizado por la siguiente función de densidad:

donde L es la distribución estable Lévy simétrica de parámetro a y factor de escala s>0, N una constante de normalización y x_cut la abscisa de corte.

Este modelo explica las siguientes observaciones empíricas:

(a) comportamiento de escala no gaussiano de la fdp para intervalos de t cortos;

(b) forma de Lévy de la parte central de la distribución;

(c) convergencia gradual hacia un proceso gaussiano cuando t crece indefinidamente.