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Aleatorización de objetos fractales deterministas - Percolación: ejemplos, renormalización - El modelo de Eden - Agregación limitada por difusión (DLA) - Caracterización fractal de series temporales - Movimiento browniano: autosemejanza estadística, autoafinidad, dimensión box-counting, categorías, simulación - Densidad espectral de Fourier - Procesos 1/f - Dimensión fractal basada en la densidad espectral - Síntesis de fBm basada en la tranformada de Fourier - Extensión del fBm a dimensiones superiores - Método de los desplazamientos en 2d - Costas fractales a partir de paisajes fractales - Fourier filtering en d>1 - Mapas de color - Desplazamiento aleatorio del punto medio no-gaussiano - Series temporales en mercados financieros - Integración de paisajes - Análisis de texturas
Ya pusimos de manifiesto el problema de la simetría estadística en sentido vertical. Otro de los problemas para construir paisajes convincentes es que las construcciones realizadas hasta ahora carecen de mecanismos para integrar los procesos de erosión y, adicionalmente, las cuencas de los rios y los rios mismos.
Un mecanismo sencillo para añadir un rio, en principio sin afluentes, consiste en tomar un punto de la superficie generada con una cota suficiente y otro punto en el valle, situado en un borde del contexto matricial bidimensional. Seguidamente, se traza un itinerario siguiendo puntos incluidos en la línea de máxima pendiente. Finalmente, se procede a un “hundimiento” de la cuenca con profundidad decreciente en el descenso.
Construyendo un modelo de cráter lunar e intergrando el resultado con un fBm apropiadamente escalado, queda un paisaje lunar ligeramente convincente. El cráter se puede configurar como un casquete de paraboloide, completándolo por una superficie hiperbólica de acuerdo hacia el exterior, a lo largo del borde.
Supongamos que la caracterización de un proceso bidimensional X se realiza a través de su densidad espectral, para el que efectuamos la hipótesis de que dicha densidad sigue una ley de potencia
Para el proceso (imagen) en cuestión, estimamos la densidad espectral por uno de los procedimientos habituales, que suelen implicar el empleo de ventanas. Seguidamente, se construye un diagrama log-log, con la densidad espectral frente a r y se deduce una estimación del exponenteb.
Para superficies brownianas DB=3-H y puesto que b=2H+2, queda:
La determinación de la densidad espectral en 2D, no es tarea sencilla. Podemos optar por hacer una estimación directa via periodograma. Pero el resultado es de baja resolución en frecuencia para imágenes de pequeño tamaño y presenta una varianza elevada.
Una alternativa es acudir al algoritmo de Bartlett. Realizamos una partición de la imagen en secciones, calculamos la densidad espectral para cada una de ellas y establecemos la global como el promedio de las obtenidas para cada sección. Si dividimos una imagen NxN en p=numxnum partes, cada una de N/num de lado, la varianza queda dividida por p, pero se produce una pérdida de resolución en frecuencia.
Construimos un proceso fBm con H=0.7, luego con dimensión teórica D=2.3. La estimación de la dimensión (de Fourier) obtenida se reduce a DF=2.235 (psd2.m y t07.m)
Construimos un proceso fBm con H=0.5, luego con dimensión teórica D=2.5. La estimación de la dimensión (de Fourier) obtenida se reduce a DF=2.4964 (psd2.m y t05.m)
