Hasta el momento hemos considerado estructuras geométricas F, sobre las que hemos precisado los conceptos de autosemejanza y autoafinidad, eventualmente en un contexto estadístico. Como sabemos, sobre F, y sobre los subconjuntos de F, es posible definir medidas, y sobre estas medidas, es posible, asimismo, introducir un concepto de autosemejanza compatible con el que ya conocemos.

Consideremos una región del globo y la serie temporal que describe la ocurrencia de terremotos en dicha región durante un determinado período de tiempo. Esta serie puede tener características de autoafinidad, y podemos, en consecuencia, asociarle una dimensión fractal.

Sin embargo, la serie temporal no describe de forma satisfactoria el fenómeno sísmico, pusto que no hemos tenido en cuenta un dato fundamental, que es la intensidad del seísmo asociada con cada ocurrencia, medida en una escala conveniente. Dado un umbral U, podemos deducir las ocurrencias con intensidad mayor que U y, suponiendo que se cumple la hipótesis de autosemejanza, estimar la dimensión fractal correspondiente.

Este valor puede resultar independiante de U, en cuyo caso la serie debería ser considerado un objeto fractal. Pero también es posible que el comportamiento de escala resulte diferente al incrementar el valor de U, obteniendo así estimaciones distintas para la dimensión para umbrales distintos. En este caso, tendríamos una estructura que no se describe de forma suficiente con una dimensión fractal.

Consideremos el segmento unidad I=[0,1], sobre el que suponemos distribuida uniformemente una cantidad de masa de magnitud 1. Dividimos el segmento en dos partes, I₀ e I₁, cada una de longitud ½, y distribuimos la masa unidad depositando m₀ sobre I₀ y m₁=1-m₀ sobre I₁.

Sucesivamente, dividimos cada parte I₀, I₁, en dos nuevos segmentos, resultando I₀₀, I₀₁, I₁₀, I₁₁, respectivamente, cada uno de longitud ¼=2^-2, depositando en ellos las cantidades de masa que se indican en cuadro que sigue:

En la etapa n, disponemos de 2ⁿ segmentos de longitus 2^-n, cada uno de los cuales lleva asociado una cantidad de masa determinada por

siendo s_k=0 o bien s_k=1.

Este proceso define una sucesión {m_n} de medidas que converge (débilmente) hacia una medida m, definida sobre los subconjuntos de Borel de I, que es autosemejante por construcción. Si designamos con x=0.s₁s₂...s_n la representación diádica de un punto x en [0,1] y con I⁽ⁿ⁾(x) al único intervalo que contiene a x, entonces,

siendo k el número de ceros de {s₁, s₂... s_n}

Valores de la medida binomial con m₀=1/3 y 11 iteraciones

Definimos ahora

El valor de a mide el comportamiento singular de la medida en un entorno del punto x.

Con la notación

La cantidad a(x) es el exponente de singularidad relativo al intervalo I⁽ⁿ⁾(x).

Mas generalmente, si denominamos B_x(e) a una bola de centro x y radio e, el exponente de singularidad a(x) asociado con dicha bola está definido por

A partir de la construcción precedente deducimos tres representaciones, que arrojan perspectivas diferentes sobre la misma: la primera, es la medida, que describimos mediante las cantidades apropiadas sobre los intervalos I; la segunda es la medida de los intervalos [0,x], que se puede deducir fácilmente de la primera: M(x)=m([0,x]).

Valores de M(x) con m₀=1/3 y 11 iteraciones

En tercer lugar, podemos evaluar la densidad de la medida:

de forma que el límite de d_n(x) cuando n crece indefinidamente, es 0 o ¥, según los valores de a.

Finalmente, consideraremos la estructura particular que adquiere sucesivamente la distribución de una masa que, inicialmente, tiene un reparto homogéneo sobre el segmento [0,1]. La cantidad de masa asociada al conjunto de los segmentos I(n) para los que el conjunto {s₁, s₂... s_n} tiene exactamente nf₀ ceros es

Si dibujamos la gráfica de esta cantidad en función de f₀ para valores crecientes de n=10, 25, 50, 100, 200, se observa una concentración creciente de masa en torno a valores de f₀ (recordemos, proporción de ceros) que se aproximan a m₀. Este efecto fué denominado coagulación (“curdling”) por Mandelbrot.

Curdling (curdling.m)