Longitud de la curva de Koch

Para el cálculo de la longitud de la curva correspondiente a la etapa n en la construcción de la curva de Koch, disponemos de N(n) segmentos de longitud r(n) cada uno. La longitud L(n) es, entonces,

Cuando n crece indefinidamente, L(n) también lo hace porque el primer factor crece mucho muy rápidamente, sin que esta magnitud resulte compensada por el decrecimiento del segundo factor. Si se estima que el objeto puede tener algún grosor, en el sentido de la manera en que llena es espacio, tal vez se podría aproximar la magnitud del objeto mediante la superficie de N(n) bolas de diámetro r(n):

Ahora, al crecer n indefinidamente, S tiende a cero, porque el segundo factor decrece de forma desproporcionada con el crecimiento del primero. Sin embargo, si aceptamos regular el decrecimiento del segundo factor buscando un exponente D, cuyo valor estará comprendido entre 1 y 2, de forma que el límite resultante sea una cantidad finita, la consecuencia será que podemos asociar con el objeto una magnitud que explique en qué forma llena el ámbito espacial en el que se encuentra sumergido.

Dimensión fractal

Debemos determinar el número real D de manera que el límite de la expresión

sea una cantidad finita. Para ello deberemos tener

Con esta modo de razonar en mente, el objeto, con dimensión topológica 1, tendría una magnitud finita, a medio camino entre una longitud y una magnitud superficial, a condición de aceptar que su “dimensión” más correcta es 1.2619. Se trata de un objeto fractal y denominaremos dimensión fractal a la cantidad D.

Objeto o estructura fractal

Para finalizar esta sección, justificaremos la utilización de las palabras objeto o estructura para hacer referencia a los fractales. En efecto, la enorme variedad de las entidades que entran en consideración (conjuntos de puntos, funciones, gráficas de funciones, modelos de imágenes, modelos de señales) obliga a adoptar denominaciones que, por el momento, resultan muy genéricas.

Las señales se conciben como fenómenos físicos con valores reales o complejos medidos en ciertos sistemas de unidades. Si los fenómenos dependen de una variable real, ésta es a menudo el tiempo. Si dependen de dos variables reales, generalmente hablamos de imágenes.

Los modelos matemáticos para describir señales pueden ser funciones de variable real, con valores reales o complejos, distribuciones o funciones aleatorias. En todos los casos, muchas señales de la ciencia y de la técnica son descritas y analizadas en mejores condiciones si reciben la consideración de objetos fractales, particularmente debido a que las técnicas de análisis fractal difieren generalmente de las técnicas de análisis que se aplican para los objetos denominados euclidianos.